题解洛谷 P7897【[Ynoi2006] spxmcq】

本文中用 $T_u$ 表示以 $u$ 为根的子树。

首先考虑暴力 DP，设 $dp_u$ 为当前询问的 $x$ 下，节点 $u$ 的答案，那么根据题意列出转移方程：

$$dp_u=(a_u+x)+\sum\limits_{v\textrm{ is son of }u}\max\{dp_v,0\}$$

其中那个 $\max\{dp_v,0\}$ 就是要不要连到 $v$ 的子树里面去，这个最大值并不好处理。

我们把所有对 $dp_u$ 有贡献（也就是 $\ge 0$）的 $dp_v$ 用一条有向边连出来，就得到了从原树拎出来的一片森林，这片森林有一个很好的性质，就是不需要取 $\max$，直接用 $dp_v$ 转移就行了。

我们把 $dp_u$ 展开出来：

$$\begin{aligned} dp_u&=(a_u+x)+\sum\limits_{v\textrm{ is son of }u}dp_v\\ &=(a_u+x)+\sum\limits_{v\textrm{ is son of }u}(a_v+x)+\sum\limits_{w\textrm{ is son of }v}dp_w\\ &=\vdots\\ &=\sum\limits_{v\in T_u}(a_v+x) \end{aligned}$$

发现就是在给每个节点权值加上 $x$ 之后，子树的权值和。我们设子树的大小为 $siz_u$，原来子树的权值和为 $val_u$，用加法结合律变一下形就知道 $dp_u=siz_u\times x+val_u$。

到这里，如果我们知道每一时刻的森林形态，我们就解决了这个问题。于是问题就变为了如何获得森林形态。

又要加边又要删边是复杂的，我们注意到当 $x$ 单调递增时，$dp_u$ 总是单调递增的，$\max\{dp_v,0\}$ 的取值会是先取 $0$，然后当 $x$ 大到一定程度后变为取 $dp_v$，也就是只加边，且每一条边只加一次。因此将询问离线，按 $x$ 升序排序。

我们记录 $nd_u$ 表示 $x\ge nd_u$ 时，$u$ 与 $fa_u$ 之间的边被加上。考虑上面 $dp$ 的推导过程，满足 $siz_u\times x+val_u\ge 0$，变形得 $x\ge -\dfrac{val_u}{siz_u}$，$nd_u$ 是最小的符合条件的 $x$，即 $nd_u=-\dfrac{val_u}{siz_u}$。没有被卡常所以我直接用浮点数存了，并没有像其他题解一样上取整。

我们用一个堆来维护二元组 $(u,nd_u)$，每次询问时取出 $nd_u\le x$ 的若干个二元组，把 $u$ 和 $fa_u$ 之间的边加上即可。

考虑加边对 $siz$ 和 $val$ 的影响，是 $fa_u$ 到所在连通块的根节点路径上节点的 $siz,val$ 分别增加 $siz_u,val_u$。于是我们需要用并查集来维护加边后连通块的根，然后用支持链修改、单点查的数据结构维护 $siz,val$，我用的差分套 dfs 序树状数组。

需要注意一条边不能被重复加多次，要特判一下，还有树状数组中对下标 $0$ 的处理。

时间复杂度是 $\mathcal{O}(n\log n)$（$n,m$ 同阶）。

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(ll x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(ll x=y;x>=z;x--)
#define debug printf("Running %s on line %d...\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e6+5;
const double eps = 1e-6;

ll n, m, fa[N], sz[N], a[N], dfn[N], tms, trans[N], ans[N];
vector<ll> e[N];
template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}
struct Query {
	ll u, x, id;
}q[N];
struct Dsu {
	ll fa[N];
	void init(ll x) {rep(i, 1, x) fa[i] = i;}
	ll find(ll x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
	bool merge(ll x, ll y) {
		ll u = find(x), v = find(y);
//		printf("MERGE %lld(%lld) %lld(%lld)\n", x, u, y, v);
		if(u == v) return 0;
		fa[u] = v;
		return 1;
	}
}dsu;
struct BIT {
	ll c[N];
	ll lowbit(ll x) {return x & (-x);}
	void add(ll x, ll k) {if(!x) return; for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x] += k;}
	ll Ask(ll x) {if(!x) return 0; ll k = 0; for(;x;x-=lowbit(x)) k += c[x]; return k;}
	ll ask(ll l, ll r) {return Ask(r) - Ask(l-1);}
}siz, val;
void addChain(BIT& bit, ll l, ll r, ll x) {
	bit.add(dfn[l], x);
	bit.add(dfn[fa[r]], -x);
}
ll askVertex(BIT& bit, ll u) {
	return bit.ask(dfn[u], dfn[u]+sz[u]-1);
}
struct Need {
	ll u;
	double nd;
	Need(ll a=0, double b=0.0) : u(a), nd(b) {}
	~Need() {}
	friend bool operator < (const Need& a, const Need& b) {return a.nd > b.nd;}
};
priority_queue<Need> heap;
void dfs(ll u) {
	dfn[u] = ++tms;
	sz[u] = 1;
	for(ll v : e[u]) {
		dfs(v);
		sz[u] += sz[v];
	}
}
tuple<ll, double> check(ll u, ll x) {
	ll Siz = askVertex(siz, u);
	ll Val = askVertex(val, u);
	if(Siz * x + Val >= 0) return make_tuple(1, 0.0);
	return make_tuple(0, -1.0 * Val / Siz);
}
void link(ll u, ll x) {
//	printf("LINK %lld %lld\n", u, x);
	for(ll v=0;u!=1;u=v) {
		trans[u] = 1;
		dsu.merge(u, v=dsu.find(fa[u]));
//		printf(" -> %lld %lld\n", u, v);
		ll Siz = askVertex(siz, u);
		ll Val = askVertex(val, u);
		addChain(siz, fa[u], v, Siz);
		addChain(val, fa[u], v, Val);
		auto qwq = check(v, x);
		ll ok = get<0>(qwq);
		double diff = get<1>(qwq);
		if(!ok) {
			heap.push(Need(v, diff));
			break;
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	rep(i, 2, n) scanf("%lld", &fa[i]);
	rep(i, 2, n) e[fa[i]].push_back(i);
	rep(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
	rep(i, 1, m) scanf("%lld%lld", &q[i].u, &q[i].x);
	rep(i, 1, m) q[i].id = i;
	sort(q+1, q+1+m, [](const Query& a, const Query& b) {
		return a.x < b.x;
	});
	dfs(1);
	dsu.init(n);
//	puts("!");
	rep(i, 1, n) {
//		printf("*%lld\n", i);
		heap.push(Need(i, -1.0*a[i]));
		addChain(siz, i, i, 1);
		addChain(val, i, i, a[i]);
	}
//	puts("?");
	rep(i, 1, m) {
		ll u = q[i].u, x = q[i].x, id = q[i].id;
		while(!heap.empty() && heap.top().nd <= 1.0 * x) {
			ll v = heap.top().u; heap.pop();
			if(!trans[v]) link(v, x);
		}
		ans[id] = askVertex(siz, u) * x + askVertex(val, u);
	}
	rep(i, 1, m) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}