【洛谷 P1453 城市环路】解题报告（基环树 DP）

题意简述

求一棵基环树的最大点权独立集乘以实数 $k$ 的值。

思路

考虑一棵树的最大点权独立集（其实就是没有上司的舞会），是一个很简单的树形 DP，只需要设 $dp_{u,[0/1]}$ 表示在 $u$ 的子树内不选/选 $u$ 节点的最大权值，写出转移方程：

$$\begin{cases} dp_{u,0}=\sum\limits_{v\text{ is son of }u}\max\{dp_{v,0},dp_{v,1}\}\\ dp_{u,1}=\sum\limits_{v\text{ is son of }u}dp_{v,0}\\ \end{cases}$$

但是考虑如何把树上扩展到基环树上。

由于这是我第一次做基环树上 DP，没有什么思路，想了 20min 还是不会，就去看了一眼题解，恍然大悟。

题解

既然是一棵基环树，我们找到环上的一条边把它断开，从这条边两端各自 DP 一遍，然后取各自的 $dp_{u,0}$ 的最大值不就行了吗？

因为取的是 $dp_{u,0}$，所以在一次 DP 的时候必定有一个端点没有被取到，因此这条边也符合两个端点不同时被取的要求，两遍 DP 的最大值就是答案。

只能说我做题还是太少，题解太神仙了啊！

参考代码

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
#define debug printf("Running %s on line %d...\n",__FUNCTION__,__LINE__)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5; 

int n, a[N], fa[N], cut[2], dp[N][2];
double k;
template<typename T> void chkmin(T &x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T &x, T y) {if(x < y) x = y;}
struct Edge {
    int v, nxt;
    Edge(int a=0, int b=0) : v(a), nxt(b) {}
    ~Edge() {}
}e[N<<1];
int ne = 1, h[N];
void add(int u, int v) {
    e[++ne] = Edge(v, h[u]); h[u] = ne;
    e[++ne] = Edge(u, h[v]); h[v] = ne;
}
void init(int x) {rep(i, 1, x) fa[i] = i;}
int find(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
bool merge(int x, int y) {
    int u = find(x), v = find(y);
    if(u == v) return 0;
    fa[u] = v;
    return 1;
}
void dfs(int u, int f) {
    dp[u][0] = 0;
    dp[u][1] = a[u];
    for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt) {
        int v = e[i].v;
        if(v != f) {
            dfs(v, u);
            dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]);
            dp[u][1] += dp[v][0];
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    rep(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
    init(n);
    rep(i, 1, n) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        ++u; ++v;
        if(merge(u, v)) add(u, v);
        else cut[0] = u, cut[1] = v;
    }
    scanf("%lf", &k);
    int ans = 0;
    dfs(cut[0], 0); ans = dp[cut[0]][0];
    dfs(cut[1], 0); chkmax(ans, dp[cut[1]][0]);
    printf("%.1lf\n", k*ans);
    return 0;
}