Codeforces Round 864 (Div. 2) 中文题面

Codeforces Round 864 (Div. 2) 中文题面

A. 李华与迷宫

有一个大小为 $n\times m$ 的矩形迷宫。称两个格子相邻，当且仅当它们有一条公共边。定义一条路径为若干相邻空格子的序列。

每个格子初始为空。李华可以在若干个格子中放置障碍物。他希望知道最少需要放置多少个障碍物使得不存在一条从 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的路径。

假如你是李华，请解决这一问题。

B. 李华与图案

李华有一个大小为 $n\times n$ 的图案，每个格子为蓝色或红色。他可以进行恰好 $k$ 次操作。每一次操作，他选择一个格子并改变其颜色（红变蓝，蓝变红）。每个格子可以被选择任意多次。是否可能使得操作后的图案中心对称？

假如你是李华，请解决这一问题。

C. 李华与象棋

本题是一道交互题。

李明和李华在玩游戏。李华有一个大小为 $n\times m$ 的国际象棋棋盘。李明在棋盘上放置了一个国王，李华需要猜出他的位置。

李华可以问李明不超过 $3$ 个问题。对于每个问题，他可以选择一个格子并询问国王移动到那里的最小步数。每个问题相互独立，也就是说国王不会真的移动。

国王可以从 $(x,y)$ 移动到 $(x',y')$，当且仅当 $\max\{|x-x'|,|y-y'|\}=1$（如下图所示）。

国王的位置在交互前被确定。

假如你是李华，请解决这一问题。

D. 李华与树

李华有一棵 $n$ 个节点的有根树，根节点为 $1$，第 $i$ 个节点有点权 $a_i$。定义一个非叶子节点 $i$ 的重儿子 ${son}_i$ 为子树大小最大的，若有多个则取编号最小的。

维护 $m$ 次操作：

• 操作一：求以 $x$ 为根的子树内的点权和。
• 操作二：切断 $(x,{fa}_x)$ 之间的边，在 $({son}_x,{fa}_x)$ 之间连一条边。如果 $x$ 为叶子，忽略这次操作。

假如你是李华，请解决这一问题。

E. 李华与数列

李华有一个长度为 $n$ 的数列 $a$，维护 $m$ 次操作：

• 对于区间 $[l,r]$ 的每个 $a_i$，将其改为 $\varphi(a_i)$。
• 对于区间 $[l,r]$，求至少需要进行多少次操作，使得区间的所有 $a_i$ 相等。一次操作为选择恰好一个 $a_i$ 并将其改为 $\varphi(a_i)$。操作不会真的进行。

假如你是李华，请解决这一问题。

F. 李华与路径

李华有一棵 $n$ 个节点的无根树，节点编号 $1\sim n$。

他认为一个点对 $(u,v)$（$u < v$）是可爱的，当且仅当以下两个条件中恰好有一个成立：

• $u$ 是 $(u,v)$ 路径上编号最小的节点。
• $v$ 是 $(u,v)$ 路径上编号最大的节点。

维护 $m$ 次操作，对于第 $j$ 次操作：

• 添加一个编号为 $n+j$ 的节点，作为编号 $k_j$ 的节点的子节点。

请在初始时和每次操作后求出可爱点对的数量。

假如你是李华，请解决这一问题。