题解：[ARC188C] Honest or Liar or Confused

乍一看以为是 3-SAT 不可做，动动脑子发现是 2-SAT（

鉴于本题解书写时洛谷题面暂无中文翻译，为避免可能的歧义或困惑，先对本题解中的译法进行约定：

• 英文题面中“honest villager”或日文题面中“正直者”译为“诚实村民”。
• 英文题面中“liar”或日文题面中“嘘つき”译为“撒谎村民”。
• 英文题面中“confused”或日文题面中“混乱している”译为“糊涂的”。
• 英文题面中“not confused”或日文题面中“混乱していない”译为“清醒的”。
• 英文题面中“testimony”或日文题面中“証言”译为“证言”。

设 \(P_i\) 表示第 \(i\) 位村民是否是撒谎村民，\(Q_i\) 表示第 \(i\) 位村民是否是糊涂的。根据题意列出证言的真值表：

\(A\) 身份	\(P_A\)	\(A\) 状态	\(Q_A\)	\(B\) 身份	\(P_B\)	\(C\) 结果	\(C\)
诚实村民	\(0\)	清醒的	\(0\)	诚实村民	\(0\)	诚实村民	\(0\)
诚实村民	\(0\)	清醒的	\(0\)	撒谎村民	\(1\)	撒谎村民	\(1\)
诚实村民	\(0\)	糊涂的	\(1\)	诚实村民	\(0\)	撒谎村民	\(1\)
诚实村民	\(0\)	糊涂的	\(1\)	撒谎村民	\(1\)	诚实村民	\(0\)
撒谎村民	\(1\)	清醒的	\(0\)	诚实村民	\(0\)	撒谎村民	\(1\)
撒谎村民	\(1\)	清醒的	\(0\)	撒谎村民	\(1\)	诚实村民	\(0\)
撒谎村民	\(1\)	糊涂的	\(1\)	诚实村民	\(0\)	诚实村民	\(0\)
撒谎村民	\(1\)	糊涂的	\(1\)	撒谎村民	\(1\)	撒谎村民	\(1\)

容易观察到证言 \((A,B,C)\) 实际上限制了 \(P_A\oplus Q_A\oplus P_B=C\)。

注意到，一位村民是否是撒谎村民和她是否清醒是无关的，并且上式中 \(P_A\) 和 \(Q_A\) 总是绑定在一起，因此不难想到设 \(R_i=P_i\oplus Q_i\)。证言 \((A,B,C)\) 的限制转化为 \(R_A\oplus P_B=C\)，是经典的 2-XOR-SAT 问题。使用扩展域并查集求解出 \(P_i\) 和 \(R_i\) 的一组解（或判定无解），再根据 \(Q_i=P_i\oplus R_i\) 求得并输出 \(Q_i\) 即可。

题目要求构造出一组解（而非判定是否有解），构造的过程比较容易想不清楚写错，赛时直接爽吃五发罚时。

核心代码：

//By: OIer rui_er
#define rep(x, y, z) for(int x = (y); x <= (z); ++x)
#define per(x, y, z) for(int x = (y); x >= (z); --x)

const int N = 8e5 + 5;

int n, m, ans[N];

struct Dsu {
    int fa[N];
    void init(int x) {rep(i, 1, x) fa[i] = i;}
    int find(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
    bool same(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
    bool merge(int x, int y) {
        if(same(x, y)) return false;
        x = find(x); y = find(y);
        fa[x] = y;
        return true;
    }
}dsu;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    dsu.init(4 * n);
    rep(i, 1, m) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        if(w == 0) {
            dsu.merge(u + 2 * n, v);
            dsu.merge(u + 2 * n + n, v + n);
        }
        else {
            dsu.merge(u + 2 * n, v + n);
            dsu.merge(u + 2 * n + n, v);
        }
    }
    rep(i, 1, n) {
        if(dsu.same(i, i + n)) {
            cout << "-1" << endl;
            return 0;
        }
        if(dsu.same(i + 2 * n, i + 2 * n + n)) {
            cout << "-1" << endl;
            return 0;
        }
    }
    // rep(i, 1, n) cout << dsu.find(i) << " " << dsu.find(i + n) << " " << dsu.find(i + 2 * n) << " " << dsu.find(i + 3 * n) << endl;
    rep(i, 1, n) {
        if(dsu.same(i, i + 2 * n)) cout << 0;
        else if(dsu.same(i, i + 2 * n + n)) cout << 1;
        else {
            dsu.merge(i + 2 * n, i);
            dsu.merge(i + 2 * n + n, i + n);
            cout << 0;
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}