题解 ARC140E【Not Equal Rectangle】

萌萌构造题，随便构造构造就做出来了。似乎跟官方题解思路一样。

首先解决以下问题：给定一个质数 $P$ ，构造一个每个数在 $0\sim P-1$ 的大小为 $P^2\times P^2$ 的矩阵，满足不存在 $x_1\ne x_2,y_1\ne y_2$ 使得 $a_{x_1,y_1}=a_{x_1,y_2}=a_{x_2,y_1}=a_{x_2,y_2}$ 。

类似 $9\times 9$ 的数独那样，我们将所求矩阵划分为 $P^2$ 个大小为 $P\times P$ 的宫。如果一个宫 $M$ 满足 $M_{i,j}=(i+j+k)\bmod P$ ，就称其为 $k$ 类宫，记作 $B_k$ 。

例如， $P=3$ 时：

B_{0} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}], B_{1} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}], B_{2} = [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}]

$B_0= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}, B_1= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}, B_2= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$

对于所求矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的宫，令其为 $B_{ij\bmod P}$ 即可。

例如， $P=3$ 时：

A = [\begin{matrix} B_{0} & B_{0} & B_{0} \\ B_{0} & B_{1} & B_{2} \\ B_{0} & B_{2} & B_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

$A= \begin{bmatrix} B_0 & B_0 & B_0 \\ B_0 & B_1 & B_2 \\ B_0 & B_2 & B_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

证明采用反证法：假设存在相等的四个数位于两行、两列的交点，显然必须在四个不同的宫，设左上、右上、左下、右下对应的宫分别是 $a,b,c,d$ 类宫，则有 $a-b=c-d$ ，但是这不可能发生。

解决了上面的问题，原问题便迎刃而解了。

代码：

const int P = 23;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; ++i) {
    for(int j = 0; j < m; ++j) {
        int val = ((i / P) * (j / P) + i + j) % P + 1;
        cout << val << " \n"[j == m - 1];
    }
}

posted @ 2024-01-13 09:44 rui_er 阅读(24) 评论(0) 编辑收藏举报

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