题解 P10055【[CCO2022] Rainy Markets】

首先尽量把所有人放在左边的车站，然后再尽量放在右边的车站，求出此时 $i$ 位置车站有多少空位留给 $i+0.5$ 位置的人，记为 $f_i$ 。也就是：

f_{i} \leftarrow max {b_{i} - max {p_{i - 1} - f_{i - 1}, 0}, 0}

$f_i\gets\max\{b_i-\max\{p_{i-1}-f_{i-1},0\},0\}$

然后从右向左贪心。对于第 $i+0.5$ 位置的人，设去左边、不动买伞、去右边的人数分别为 $l_i,m_i,r_i$ 。由于右侧都已经尽量优地分配过，令这个位置的人优先去右边不会使得情况变得更劣，因此先贪心把右边填满，也就是：

\begin{aligned} r_{i} & \leftarrow min {b_{i + 1} - l_{i + 1}, p_{i}} \\ p_{i} & \bar{\leftarrow} r_{i} \end{aligned}

$\begin{aligned} r_i&\gets\min\{b_{i+1}-l_{i+1},p_i\}\\ p_i&\stackrel{-}{\gets}r_i \end{aligned}$

之后为了使总花费尽量小，肯定是在不影响左侧的情况下尽量都去左边，这时候计算过的 $f_i$ 就派上了用场， $f_i$ 就代表着左边有多少地方一定可以给 $i+0.5$ 位置的人，且不会影响左侧的决策，也就是：

\begin{aligned} l_{i} & \leftarrow min {f_{i}, p_{i}} \\ p_{i} & \bar{\leftarrow} l_{i} \end{aligned}

$\begin{aligned} l_i&\gets\min\{f_i,p_i\}\\ p_i&\stackrel{-}{\gets}l_i \end{aligned}$

剩下的人一定需要买伞，因为即使在这里不买伞，去到左边也会使得左边的一些人需要买伞。我们让他们直接就地买伞：

\begin{aligned} m_{i} & \leftarrow min {u_{i}, p_{i}} \\ p_{i} & \bar{\leftarrow} m_{i} \\ a n s & \overset{+}{\leftarrow} m_{i} \end{aligned}

$\begin{aligned} m_i&\gets\min\{u_i,p_i\}\\ p_i&\stackrel{-}{\gets}m_i\\ ans&\stackrel{+}{\gets}m_i \end{aligned}$

如果还有剩下的人，就不得不让他们去左边挤一挤了：

l_{i} \overset{+}{\leftarrow} p_{i}

$l_i\stackrel{+}{\gets}p_i$

如果 $l_i > b_i$ 即为无解，所有 $l_i\le b_i$ 即求得了最优解及其构造。

时间复杂度 $O(n)$ 。

所有关键都在上文给出了，代码就不放了。

posted @ 2024-01-08 19:23 rui_er 阅读(28) 评论(0) 编辑收藏举报

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