蛋糕（区间DP）+东方记者（普通DP）

最近考试总是DP签到题，本身就是个弱项， 写个小结

蛋糕

大意

Solution

为了简化问题（名称）
先声明“我”是第一个拿蛋糕的那个人
“我”想要得到最大值
定义\(dp[i][j]\)表示取完区间\(i,j\)我能得到的最大值并且最后一次是我取走的
考虑如何转移
对答案有贡献的区间长度为奇数
因为根据定义要保证最后一次是我取的

• 最后一次我取走了\(a[i]\)
  那么\(dp[i][j]\)将从状态\(dp[i+1][j]\)转移得到
  又因为区间长度为奇数，这一次转移的最后一次是另一个人取的
  考虑再往前一步的操作
  就是另一个人取走了\(a[i+1]\)或者\(a[j]\)

  • 假设另一人取走了\(a[i+1]\)
    那么上一步的状态变为\(dp[i+2][j]\)
    因为在这一步当中状态方程表示的是\(dp[i+2][j]\)证明整段区间已经被选完了
    所以另一个人是在\(a[i+1]\)和\(a[j+1]\)中选择了\(a[i+1]\)
    当且仅当在\(a[i+1]>a[j+1]\)时成立
  • 假设另一人取走了\(a[j]\)
    同理推断另一人是在\(a[j]\)和\(a[i]\)当中选择了前者
    上一步状态变为\(dp[i+1][j-1]\)
    当且仅当在\(a[j] > a[i]\)时成立

• 最后一次我取走了\(a[j]\)
  状态将从\(dp[i][j - 1]\)转移得到
  另一个人取走了\(a[i]\)或\(a[j-1]\)

  • 假设另一人取走了\(a[i]\)
    区间\(i+1, j\)已经被选完了
    状态变为\(dp[i+1][j-1]\)
    在\(a[i]>a[j]\)时成立
  • 假设另一人取走了\(a[j-1]\)
    区间\(i, j-2\)已经被选完了
    状态变为\(dp[i][j-2]\)
    在\(a[j-1]>a[i-1]\)时成立

判断边界可以出代码了

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define int long long
#define max(a, b) ({register int AA = a, BB = b; AA > BB ? AA : BB;})
using namespace std;

inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

const int ss = 4004;

int dp[ss][ss], a[ss];

signed main(){
	register int ans = 0;
	register int n = read();
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
		a[n + i] = a[i] = read();
	for(register int i = 1; i <= n + n; i++)
		dp[i][i] = a[i];
	for(register int len = 3; len <= n; len += 2){
		for(register int i = 1; i + len - 1 <= n + n; i++){
			register int j = i + len - 1;
			if(a[i + 1] > a[j + 1] && j + 1 <= n + n && i + 1 <= n + n) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 2][j] + a[i]);
			if(a[i] < a[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - 1] + a[i]);
			if(a[i] > a[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - 1] + a[j]);
			if(a[i - 1] < a[j - 1] && i - 1 >= 1 && j - 1 >= 1) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - 2] + a[j]);
			ans = max(ans, dp[i][j]);
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

东方记者

大意

在坐标系中给出n个点（信息），以及移动距离的限制
距离表示为曼哈顿距离
问在移动限制内最多能走到多少点（采集多少信息）

Solution

定义\(dp[i][j]\)表示走到第\(i\)个点收集\(j\)个信息的最小的代价
考虑转移
\(dp[j][k]\)到\(dp[i][k+1]\)证明从\(j\)走到了\(i\)，收集到了第\(k+1\)个信息
代价为从\(j\)到\(i\)的曼哈顿距离
统计答案
枚举对于每个点能收集\(j\)个信息
如果走到当前点收集\(j\)个信息的代价比限制要少
用\(j\)更新答案即可

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define max(a, b) ({register long long AA = a, BB = b; AA > BB ? AA : BB;})
#define min(a, b) ({register long long AA = a, BB = b; AA < BB ? AA : BB;})
#define getdis(i, j) (abs(x[i] - x[j]) + abs(y[i] - y[j]))
using namespace std;

inline long long read(){
	register long long x = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

const int ss = 105;

long long dp[105][105];
long long x[ss], y[ss];

signed main(){
	register int n = read();
	memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
	for(register int i = 1; i <= n; i++){
		x[i] = read(), y[i] = read();
		dp[i][1] = abs(x[i]) + abs(y[i]);
	}
	register long long d = read();
	for(register int i = 2; i <= n; i++)
		for(register int j = 1; j <= i - 1; j++)
			for(register int k = 1; k <= j; k++)
				dp[i][k + 1] = min(dp[i][k + 1], dp[j][k] + getdis(i, j));
	register long long ans = 0;
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
		for(register int j = 1; j <= i; j++){
			if(abs(x[i]) + abs(y[i]) + dp[i][j] <= d)//在j处收集的代价足够，收集j
				ans = max(ans, j);
		}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}