秦九韶算法 & 三分法

前言

今天考试出了一个题
郭郭模拟退火骗了75分
于是再次把咕咕了好久的模退提上日程
如果进展顺利
明后天应该会开爬山算法和模退的博客笔记
今天先把今天考试的正解学习一下——三分法

引入

老规矩上板子题
LuoguP3382

题目描述

给出一个 \(N\) 次函数，保证在范围 \([l,r]\) 内存在一点 \(x\)，使得 \([l,x]\) 上单调增，\([x,r]\) 上单调减。试求出 \(x\) 的值。

输入格式

第一行一次包含一个正整数 \(N\) 和两个实数 \(l,r\)，含义如题目描述所示。
第二行包含 \(N+1\) 个实数，从高到低依次表示该 \(N\) 次函数各项的系数。

输出格式

输出为一行，包含一个实数，即为 \(x\) 的值。四舍五入保留 \(5\) 位小数。

Input

3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1

Output

-0.41421

秦九韶算法

背景（废话）

秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。
其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
在西方被称作霍纳算法，是以英国数学家霍纳命名的。

计算方法

求多项式的值：

\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n \]

一眼暴力直接求值
那还要秦九韶干啥
本质就是提公因式

\[f(x)=a_0+x(a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n -1}) \]

\[f(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+a_3x+\cdots+a_nx^{n -2}) \]

顺序进行到最后

\[f(x)=(\cdots(a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0 \]

来看一个五次式

\[f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\quad (x=5) \]

暴力求需要10个乘法
利用秦九韶算法显然可以只成4次
这下就大大改善了效率
显然的，次数越高
算法效率优化越明显

---

接下来进入正题：三分法

三分法

简介

三分法一般用来求某一个单峰函数的最值。
没了。。。
和二分的区别就是
二分要求区间单调
三分要求只有一个“单峰”，即最值

实现

给定上下界，每次将上下界这个区间平均分成三份，取两个三等分点比较，并缩小范围。
三分法就是单峰函数求最值
当前我们位于\([l,r]\)
然后我们我们有两个三等分点\(mid,mmid(mid<mmid)\)
也不一定非要两个三等分点，只是举个例子
假设我们求最大值
我们比较\(f(mid)\)以及\(f(mmid)\)
1.\(f(mid)>f(mmid)\)
那么可以确定的是\(mmid\)一定位于最值右边
2.\(f(mid)<f(mmid)\)
那么可以确定的是\(mid\)一定位于最值左边

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;

inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch;
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

const double eps = 1e-8;
double a[20];
int n;

inline double f(double x){
	double ans = 0.0;
	for(int i = n; i >= 0; i--)
		ans = ans * x + a[i];
	return ans;
}

double l, r;
signed main(){
	n = read();
	cin >> l >> r;
	for(int i = n; i >= 0; i--)
		cin >> a[i];
	while(fabs(l - r) >= eps){
		double midl = l + (r - l) / 3;
		double midr = r - (r - l) / 3;
		if(f(midl) > f(midr))
			r = midr;
		else l = midl;
	}
	printf("%.5lf\n", l);
	return 0;
}

小结

这么来看三分还是很简单的（doge
这个板子求导+二分好像也能做
但是咱们今天学习板子对吧
稍等做完T4会把题目放到下面