Prufer序列 性质&证明

前言

下午HHY还有AAK看到了这个
质问我Prufer序列是啥
被迫复习一波

引入

直接从题目看吧
[HNOI2004]树的计数
大概意思就是给你n个节点
告诉你每个节点的度数
然后问你根据这些度数能够生成多少棵树
看样例

4  
2 1 2 1 

画个图解释一下

题目中给出的样例只有这两种情况，所以输出答案为2
我们更关心答案怎么来的，下面来讲一下\(Prufer\)序列

Prufer序列

性质一

• 存在无根树转为\(Prufer\)序列以及\(Prufer\)序列转为无根树两种操作，换言之，上述两者是互射的（可以互相转化）

证明一

• 无根树转\(Prufer\)

  • 找到编号最小且度数为1的点
  • 删除该节点，并且在序列中添加与该节点连接的节点
  • 重复1、2操作，直至树上只剩下两个点

• Prufer转无根树

  • 设\(Prufer\)序列为集合\(M\)，另一个集合 \(G { 1,2,3…n }\)
  • 每次提取M中最靠前的元素u与G中不存在与M且最靠前的元素v，将u与v连边，分别在两个集合中删除u、v。
  • 最后将G中剩下的两个元素连边

举个栗子
看上面的第一个图

图转\(Prufer\)序列
先找到2，删除2和2->1连边，将1入列，删除1和1->3连边，3入列，序列就是“1，3”

\(Prufer\)序列转图
取出M中的1和G中的2连边，分别删除两个集合中的元素
取出M中的3和G中的1连边，然后……同上……
此时，M空了，G中只剩下了3，4，连接3，4就行了

性质二

\(Prufer\)序列是一种对有标号无根树的编码，长度为节点数-2

证明二

看证明一当中转换的要求
直至树上只剩下两个点
可以看到最后有两个点直接忽略
因为此时再判断顺序没有意义
那就是总数-2

性质三

对于给定的n个点度数，可以构造的树的数量为
$ (n-2)!/((d1-1)!×(d2-1)!×…×(dn-1)!) $

证明三

需要一丢丢前置知识

• 因为每个点的度数为d，在构造序列的时候
  我们会发现，每有一个度数就会入序列一次
  但是还要留一次给删除操作，就不入序列了
  所以对于度数为\(d_i\)的点i
  入序列的次数为\(d_i-1\)
• 由性质一可知序列和图之间是一一对应关系
  所以说n个点的序列长度为n-2
  其全排列为\((n-2)!\)
• 但是考虑到在序列中会有好多重复出现的点
  比如1,1,2
  按照位置全排列\(A_3^3\)有6种
  但是实际上只有1,1,2 1,2,1 2,1,1一共3种
  只需要\(\frac {A_3^3} {(d_1-1)!}\)就是正确的不重复的树的数量
  于是乎，上述结论被证明
  即
  对于给定的n个点度数，可以构造的树的数量为

\[(n-2)!/((d1-1)!×(d2-1)!×…×(dn-1)!) \]

代码实现

对于这个题目，需要判断几个地方
当转换prufer序列的时候，如果入列次数！=n-2，就一定有问题，输出0
还有，如果有的节点度数为0，那图就不联通，那就输出0
然后对于个数的求解
组合数打个表就可以了

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=155;
int c[maxn][maxn];
int ans,d[maxn];
int sum;
int n;

inline void pre(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
	}
}

int main(){
	cin>>n;
	if(n==1){
		cin>>d[1];
		if(d[1]==0) cout<<1<<endl;
		else cout<<0<<endl;
		return 0;
	}
	pre();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d[i];
		if(!d[i]) return cout<<0<<endl,0;
		d[i]--;
		sum+=d[i];
	}
	if(sum!=n-2) return cout<<0<<endl,0;
	sum=0,ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans*=c[n-2-sum][d[i]],sum+=d[i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

总结

没啥特别难得地方
就是性质三不太好理解
需要多找几个例子
讲真从去年到现在用的并不多
看过就当做是一个小知识拓展就好
蟹蟹~