Toyota Programming Contest 2023 Spring Qual A（AtCoder Beginner Contest 288）

D、F

被D干碎了题目连接

D - Range Add Query

题意

给定一个长度为N的序列，当且仅当它可以满足以下条件时，它是一个好序列：

操作：选择两个整数i, c，满足（ $i + k - 1 \leq N$ ），给序列的[i, i+k-1]都加上c。
经过任意次操作，整个序列的值为0。

现在给定一个长度为N的序列，有q次询问，每次询问区间[l, r], 问[l, r]组成的数是否是好区间。

k <= 10, n,q <= 2e5

分析

考虑暴力，如果一个区间可以经过上述操作变成好区间，那么从前往后的模拟一定存在解，我们只需要对当前位进行+a[i], 后k-1项做-a[i], 最后k项如果全部相等那么就满足题意。时间复杂度在 $O (q * n * k))$ ，超时。

考虑差分，纸面上的差分很难维护出我们想要的信息，我能想到的就是乱搞求出最后k个数的值，很显然不是正解。

考虑题目给的信息

k是个定值
每次差分是对长度为k的区间操作，也是就a[x]+c, a[x+k]-c
差分不会改变a[x]+a[x+k]?

第三点是解题的关键，对下标为x, x+k, x+2k, x+3k ...这样的值进行差分，那么这些下标对应的值的和sum = a[x] + a[x+k]+...+a[x+tk]是不变的，因为对于每个差分过程有a[x]+c, a[x+k]-c, sum+c-c=sum。那么现在对于一个序列a[l, r],每次进行差分会有什么结果呢，x, x+k,x+2k...的值全部差分到一处，我们假定差分到x，那么对于前k个值，最后可以是（sum1,sum2,sum3,...,sumk,0,0,0,0,...）。所以我们的问题就是求出区间（%k）值的和。可以预处理前缀和。

时间复杂度 $O (n + q * k)$

const int N = 200010;
ll n, k, q;
void solve() {
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n + 1, 0);
    vector<vector<int>> s(n + 1, vector<int>(k + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        s[i][i % k] += a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            s[i][j] += s[i - 1][j]; 
        }
    }
    cin >> q;
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        vector<int> b(k);
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            b[j] = s[r][j] - s[l - 1][j];
        }
        if (b == vector(k, b[0])) {
            cout << "Yes\n";
        } else {
            cout << "No\n";
        }
    }
}

E - Wish List

待补

F - Integer Division

题意

给一个位数为N（N<2e5）的数，现在可以任意将数划分成m个数，每次划分后所有数的乘积为x,求出所有划分的乘积和。

比如样例 234 划分成： $234 ＋ 2 * 34 ＋ 23 * 4 ＋ 2 * 3 * 4$ 结果为418。

分析

考虑动态规划，定义dp[i]，为考虑了前i个字符的最大乘积和。很容易得出转移方程

d p [i] = \sum_{j = 0}^{i - 1} d p [j] * X [j + 1 : i] (其 中 X [l : r] 表 示 n u m [l, r] 组 成 的 数)

暴力的时间复杂度：枚举j加上求X[j+1,i]，接近 $O (n^{3})$ 。

对转移方程进行化简，首先考虑：

X [j + 1 : i] = X [j + 1 : i - 1] * 10 + X [i : i];

代入方程

d p [i] = \sum_{j = 0}^{i - 1} d p [j] * (X [j + 1 : i - 1] * 10 + X [i : i]);

\Rightarrow d p [i] = \sum_{j = 0}^{i - 2} d p [j] * X [j + 1 : i - 1] * 10 + \sum_{j = 0}^{i - 1} d p [j] * X [i : i];

\Rightarrow d p [i] = d p [i - 1] * 10 + \sum_{j = 0}^{i - 1} d p [j] * X [i : i]

最后求下前缀和、取模就ok了，时间复杂度为 $O (n)$

const int mod = 998244353;
int n;
string s;
void solve() {
    cin >> n;
    cin >> s;
    s = "#" + s;
    vector<ll> dp(n + 1, 0);
    dp[1] = s[1] - '0';
    ll pre = 1 + dp[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = (10 * dp[i - 1] % mod + (pre * (s[i] - '0'))) % mod;
        pre = (pre + dp[i]) % mod;
    }
    cout << dp[n] << '\n';
}