学习笔记——EM算法

EM算法是一种迭代算法,用于含有隐变量(hidden variable)的概率模型参数的极大似然估计,或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成:E步,求期望(expectation);M步,求极大(Maximization)。

EM算法的引入


给一些观察数据,可以使用极大似然估计法,或贝叶斯估计法估计模型参数。但是当模型含有隐变量时,就不能简单地使用这些方法。有些时候,参数的极大似然估计问题没有解析解,只能通过迭代的方法求解,EM算法就是可以用于求解这个问题的一种迭代算法。

  • EM算法
  • 输入:观测变量数据Y,隐变量数据Z,联合分布\(P(Y, X | \theta)\),条件分布\(P(Z|Y, \theta)\)
  • 输出:模型参数\(\theta\)
  1. 选择参数的初值\(\theta^{(0)}\),开始迭代;
  2. E步:记\(\theta^{(0)}\)为第\(i\)次迭代参数\(\theta\)的估计值,在第\(i+1\)次迭代的E步,计算$$Q(\theta, \theta^{(i)}) = E_Z[\log P(Y, Z|\theta) | Y, \theta^{(i)}]$$ $$= \sum_Z \log P(Y, Z | \theta) P (Z|Y, \theta^{(i)})$$ 这里,\(P(Z|Y, \theta^{(i)})\)是在给定观测数据Y和当前的参数估计\(\theta^{(i)}\)下隐变量数据Z的条件概率分布;
  3. M步:求使\(Q(\theta, \theta^{(i)})\)极大化的\(\theta\),确定第\(i+1\)次迭代的参数的估计值\(\theta^{(i+1)}\) $$\theta^{(i+1)} = \arg \max_{\theta} Q(\theta, \theta^{(i)})$$
  4. 重复第(2)步和第(3)步,直到收敛。

其中的函数\(Q(\theta, \theta^{(i)})\)是EM算法的核心。称为Q函数。

  • Q函数:完全数据的对数似然函数\(\log P(Y, Z | \theta)\)关于在给定观测数据Y和当前参数\(\theta^{(i)}\)下对未观测数据Z的条件概率分布\(P(Z|Y, \theta^{i})\)的期望,$$Q(\theta, \theta^{(i)}) = E_Z[\log P(Y, Z|\theta) | Y, \theta^{(i)}]$$ $$= \sum_Z P(Z | Y, \theta^{(i)}) \log P(Y, Z | \theta)$$

  • 可以证明,每次迭代使似然函数增大或达到局部极值。

  • EM算法可以用于生成模型的非监督学习,生成模型由联合概率分布\(P(X, Y)\)表示,可以认为非监督学习训练数据是联合概率分布产生的数据,X为观测数据,Y为未观测数据。

  • 在应用中,初值的选择变得非常重要。常用的办法是选取几个不同的初值进行迭代,然后对得到的各个估计值加以比较,从中选择最好的。

EM算法在高斯混合模型学习中的应用


  • 高斯混合模型是指具有以下形式的概率分布模型:$$P(y | \theta) = \sum_{k = 1}^K \alpha_k \phi(y|\theta_k)$$ 其中,\(\alpha_k\)是系数,\(\alpha_k \geq 0\)\(\sum_{k=1}^K \alpha_k = 1\)\(\phi\)是高斯分布密度,\(\theta_k = (\mu_k, \sigma_k^2)\),$$\phi(y|\theta_k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_k} \exp (-\frac{(y - \mu_k)^2}{2 \sigma_k^2})$$称为第k个分模型。

使用EM算法进行高斯混合模型参数估计

假设观测数据\(y_1,y_2,...,y_N\)由高斯混合模型生成,$$P(y | \theta) = \sum_{k = 1}^K \alpha_k \phi(y|\theta_k)$$其中,\(\theta = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_K; \theta_1, \theta_2,...,\theta_K)\)。我们用EM算法估计高斯混合模型的参数\(\theta\)

  1. 明确隐变量,写出完全数据的对数似然函数

    可以认为观测数据是这样产生的:首先依概率\(\alpha_k\)选择第k个分模型,然后根据这个分模型的概率分布生成一个数据。计算出完全数据的对数似然函数为$$\log P(y, \gamma | \theta) = \sum_{k = 1}^K n_k \log \alpha_k + \sum_{j = 1}^N \gamma_{jk} [\log(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}) - \log \sigma_k - \frac{1}{2\sigma^2} (y_i - \mu_k)^2]$$其中,\(\gamma_{jk}\)为1代表第j个观测来自第k个分模型,否则为0,\(n_k = \sum_{j=1}^N \gamma_{jk}\)\(\sum_{k=1}^K n_k = N\)
    观测数据\(y_j\)及未观测数据\(\gamma_{jk}\),完全数据是\((y_j,\gamma_{j1},\gamma_{j2},...,\gamma_{jK}, j = 1,2,...,N\)

  2. EM算法的E步:确定Q函数
    计算出Q函数为:$$Q(\theta, \theta^{(i)}) = \sum_{k=1}^K n_k \log \alpha_k + \sum_{k=1}^N \hat{\gamma}{jk} [\log (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}) - \log \sigma_k - \frac{1}{2\sigma_k^2} (y_i - \mu_k)^2]$$ 其中,$$\hat{\gamma} = E(\gamma_{jk} | y, \theta) = \frac{\alpha_k \phi (y_i | \theta_k)}{\sum_{k=1}^K \alpha_k \phi (y_i | \theta_k)}$$ $$n_k = \sum_{j = 1}^N E\gamma_{jk}$$

  3. 确定EM算法中的M步
    迭代的M步是求函数\(Q(\theta, \theta^{(i)})\)\(\theta\)的极大值,即求新一轮迭代的模型参数:$$\theta^{(i+1)} = \arg \max_{\theta} Q(\theta, \theta^{(i)})$$
    通过求偏导可以得到计算相应参数的表达式。

  • 高斯混合模型参数估计的EM算法
  • 输入:观测数据\(y_1, y_2,...,y_N\),高斯混合模型
  • 输出:高斯混合模型参数。
  1. 取参数的初始值开始迭代
  2. E步:依据当前模型参数,计算分模型k对观测数据\(y_i\)的响应度$$\hat{\gamma}{jk} = \frac{\alpha_k \phi (y_i | \theta_k)}{\sum^K \alpha_k \phi (y_i | \theta_k)}, j = 1,2,...,N; k = 1,2,...,K$$
  3. M步:计算新一轮迭代的模型参数:$$\hat{\mu_k} = \frac{\sum_{j=1}^N \hat{\gamma}{jk} y_j}{\sum^N \hat{\gamma}{jk}}, k = 1,2,...,K$$ $$\hat{\sigma}k^2 = \frac{\sum^N \hat{\gamma} (y_j - \mu_k)2}{\sum_{k=1}N \hat{\gamma}{jk}}, k = 1,2,...,K$$ $$\hat{\alpha}k = \frac{\sum^N \hat{\gamma}{jk}}{N}, k = 1,2,...,K$$
  4. 重复第(2)步和第(3)步,直到收敛。
  • EM算法还可以解释为F函数的极大-极大算法,基于这个解释有若干变形与推广,如广义期望极大(GEM)算法。


(注:本文为读书笔记与总结,侧重算法原理,来源为[《统计学习方法》](http://book.douban.com/subject/10590856/)一书第九章)
作者:[rubbninja](http://www.cnblogs.com/rubbninja/) 出处:[http://www.cnblogs.com/rubbninja/](http://www.cnblogs.com/rubbninja/) 关于作者:目前主要研究领域为机器学习与无线定位技术,欢迎讨论与指正!
posted @ 2016-02-17 16:00  rubbninja  阅读(1474)  评论(0编辑  收藏  举报