【图论】2 图的建立与遍历
在c++中我们应如何表示一张图呢？
表示完成后又应如何调用呢？
1.图的建立
我们有许多方法存住一张图，在csp-s考试范围常用的方法有：
1.邻接矩阵 2.数组模拟链表（前向星） （当然还有许多其他方法）
邻接矩阵理解很简单：
对于一个二维数组 a [i] [j]，a [i] [j]的值即为 点 i 到点 j 的边的边权【注释1】。
就是说我们总是将 从i 到 j 的单向边的边权赋给 用以存这个边的二维数组的对应位置。
void add(int start,int end,int length) { len[start][end]=length; len[end][start]=length; return; }
这便是邻接矩阵的存边法，其实就是将i j之间无向边的“长度”权值赋给了len[i] [j]和len[j] [i]。
#注意这里存在两次赋值，仔细观察发现其实是存了两条有向边 i j和j i。【注释2】我们通过构建两条反向有向边达到了模拟无向边的效果。
#自然，如果存无向图只对一个len赋值即可。
分析：
我们不难发现，对于邻接矩阵，无论图（假设其有n点）是稀疏还是稠密【注释3】，我们都需要高达 n^2 的空间去储存它，这无疑是相当浪费的。
我们不难发现，当出现重边【注释4】时基础的邻接矩阵就无从下手了。
我们不难发现，当初始状态时我们是无法区分边权为0的边和无边的，这有些时候意味着一次初始化，要格外留意。
对于一个已经建好的图，我们总是能知道 从 i 到 j 的边的边权，但也就仅限如此了。
如果我们要遍历邻接矩阵存的图，往往要枚举所有的可能 点对 ，具体点如常与邻接矩阵结合的 floyd 算法（这个后续会讲）时间复杂度高达 O(n^3)，这无疑在很多情况下是不可接受的。
但这并不意味这邻接矩阵一无是处，特定情况还是能发挥奇特用处（何况不难），这个在我们讲floyd的时候还会提到。
前向星又叫数组模拟链表，是非常实用的存图法。
前向星是巧妙的存图法，常规的前向星像是这个样子：
struct EDGE{ int l; int to; int weight; }edge[200]; int head[100]; int cnt;
#这里用到了结构体的有关知识，友链（https://blog.csdn.net/Jessica_Shao/article/details/104007982）。
如何理解？
我们预设一个情景——像玩 “电子积木”一样把边摞到点上（这里不存在广告嫌疑）
EDGE型就是边，也就是说，我们的边 edge[i] 中包含：
l——第i条边在起点处“压住”的边的编号——与 i 同起点的上一条边。
to——第i条边的终点。
weight——第i条边的有关权重。
head[i]就是以i节点为起点的最后一条（最上面一条）边
cnt则是当前的总边数。
#如果某边是以某一点为起点的第一条边，那么它覆压的边就是 “虚无”——0；这个性质在遍历时得到了应用。
那么加边规则是什么呢？
void add(int start,int end,int w) { cnt++; edge[cnt].to=end; edge[cnt].weight=w; edge[cnt].l=head[start]; head[start]=cnt; }
add就是加边函数，加一条边（常规）需要三个（或2个）元素 终点end，权w，起点start
首先上首一句就是边的总数+1；
然后是第cnt条边（最后一条）（当前）的终点设为end 权重设为w 上一条边设为head记录的同起点的最后一条边
同时head更新，起点的最后一条边为cnt。
#应结合接下来的遍历看。
分析：
不难发现它只是单向边，故无向边加法为
add(a,b,c);
add(b,a,c);
是故存无向图存变数（edge数组容量）至少应为无向边数的两倍。
不难发现对于重边或自环【注释5】前向星都无问题。
不难发现它比邻接矩阵难。
对于大多数图，前向星的空间更优。
2.图的遍历
这里只讲前向星的遍历。
对于如图的图
黑序号序号表示节点号，红序号表示边号，默认权值皆为1。
那么对于这张图，假设我们存好了，他应该是什么情况呢？
边： 编号 l to
1 2 4 2 0 1 3 0 3 4 3 5 点： 编号 head
1 0 2 1 3 0 4 4 5 0
（当然 情况不唯一）
对于这个有向图 我们先选择起点（这里对于起点的选择先跳过，通常题目中的信息会使你明白如何选择起点），以2为起点进行遍历。
这里用到了搜索的有关知识，如果有友链我会贴到这里的。（）
我们知道了以2为起点的最后一条边 head[2]=1，又知道了1覆压的边edge[1].l = 2,那么我们就可以遍历一遍以点2为起点的边，进而遍历出这些边的终点。
以这些边的终点为起点进行上述的操作，便可遍历整张图。
#注意此时我们并非随便选起点就能遍历整张图，上述例图很普通以至于没有很好的性质。不同的图应有不同的遍历方法，稍后会给出说明。
void dfs(int x)//x是当前节点（起点） { for(int i=head[x];i;i=edge[i].l)//这里的i是边号，从最上面逐渐往下，当编号是0（最下面一条边覆压的实际不存在的边）时停止 { int p=edge[i].to;//p是当前选中的边的终点 dfs(p);//以终点为起点dfs } }
若是一个无向图，则每次我们总能找到一条返回刚才访问过的点的边。
这样遍历无疑会死循环。
所以我们进行一下修改：
void dfs(int x) { vis[x]=1; for(int i=head[x];i;i=edge[i].l) { int p=edge[i].to; if(vis[p]==1)continue; dfs(p); } }
用一个vis[]数据记录我们是否经过点i，若经过则不跑。
明显，对于一个无向连通图，其遍历起点的选择可以随意。
图具体的遍历方法，应结合图本身的性质选择。
