计算机图形学提纲

计算机图形学提纲

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目录

• 计算机图形学提纲
  • 扫描转换算法
    • 直线
      • DDA算法
      • 中点画线法
      • Bresenham 算法
    • 圆形
      • 中点画圆法
      • Bresenham 画圆算法
    • 椭圆
  • 图形裁剪
    • 线段
      • Cohen-Sutherland 代码裁剪算法
      • 中点分割裁剪算法
      • Liang－Barsky 算法
    • 多边形
      • Sutherland－Hodgman 逐边裁剪法
      • 边界裁剪算法
        • 内裁剪 / 外裁剪
  • 二维三维图形变换
    • 基本变换
      • 二维变换
        • • 平移
          • 比例
          • 旋转
          • 对称
          • 错切
      • 三维变换
    • 复合变换
  • 三维图形投影和消隐
    • 视图
      • 主视图
      • 侧视图
      • 俯视图
      • 透视投影
    • 消隐画法
  • 曲线曲面
    • 抛物线
    • Bezier曲线
      • 二次Bezier曲线
    • k次B样条曲线

注：本代码为伪代码，部分风格依据 python

扫描转换算法

直线

DDA算法

当斜率绝对值小于1时

def LineDDA(x0: int, y0: int, x1: int, y1: int):
    
    m = (y1-y0)/(x1-x0)	# y增量
    
    x = x0
    y = float(y0)+0.5	# 始点
    
    for x in range(x0, x1):
        putPixel(x, int(y))
        y += m

中点画线法

令 \(f(x, y)=Ax+By+C\) ，则

• f > 0，则位于直线上方
• f = 0，则位于直线
• f < 0，则位于直线下方

计算 \(f (x+1, y+0.5)\) ，若 < 0 则取 (x+1, y+1)，若 > 0 则取 (x+1, y)

• 若取 (x+1, y+1)，则 \(f\) 增量为 \(f (x+2, y+1.5)-f (x+1, y+0.5)=A+B\)
• 若取 (x+1, y)，则 \(f\) 增量为 \(f (x+2, y+0.5)-f (x+1, y+0.5)=A\)

初始值为 d = (x₀+1, y₀+0.5) ，后随节点更新加上增量

def MidPointLine(x0: int, y0: int, x1: int, y1: int):
    dx = x1-x0
    dy = y1-y0
    
    d = dx-2*dy		# 初始值
    incrE = -2*dy	# (x+1, y)增量
    incrNE = 2*(dx-dy)	# (x+1, y+1)增量
    
    y = y0
    for x in range(x0, x1):
        putPixel(x, y)
        
        if d > 0:
            d += incrE
        else:
        	d += incrNE
            y += 1

Bresenham 算法

按照增量计算下一点，即

• 累计的 \(\Delta y+k>0.5\)，则向上画点，\(\Delta y\) - - += k

• 累计的 \(\Delta y+k\leq0.5\)，则向上画点，\(\Delta y\) += k

初始 \(\Delta y\) = - 0.5，然后同时乘\(\Delta x\)，有

def BresenhamLine(int x0,int y0,int x1,int y1):
    dx = x1-x0
    dy = y1-y0
    
    d = -dx
    
    y = y0
    for x in range(x0, x1):
        putPixel(x, y)
        
        x += 1
        d += 2*dy
        
        if d >= 0:
            y += 1
            d -= 2*dx

圆形

中点画圆法

圆是1 / 8 对称的图形，所以只需要会绘制 1 / 8，判断 1 / 2 点在圆内还是圆外

def MidPointCircle(r: int):
    x=0
    y=r		# 从最上方点开始向左绘制
    
    d=1-r
    
    putPixel(x,y)
    while x < y:
        if d < 0:
            d += 2*x+3
            x += 1
        else:
        	d += 2*(x-y)+5
            x += 1
            y -= 1
        putPixel(x,y)

Bresenham 画圆算法

绘制1 / 4的圆，与上同理，为一步一步的递推判断

def BresenhamCircle(r: int):
    x = 0
    y = r
    
    delta = 2*(1-r)
    
    while y >= 0:		# 判断点移动方向
        putPixel(x,y)
        if delta < 0:		# 右中方向
            delta1 = 2*(delta+y)-1
            if delta1 <= 0:
                direction=1
            else:
                direction=2
        else if delta > 0:	# 右下方向
            delta2 = 2*(delta-x)-1
            if delta2 <= 0:
                direction=2
            else:
                direction=3
        else:
            direction=2
        
        switch direction:	# 移动后更新值
            case 1:			# 右方
                x++;
                delta += 2*x+1
                break
            case 2:			# 右下方
                x++; y--;
                delta += 2*(x-y+1)
                break
            case 3:			# 下方
                y--;
                delta += (-2*y+1)
                break

椭圆

导数为1的点为 \((x_p, y_p)\)

\[\left\{ \begin{array}{} x_p=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ y_p=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right. \]

\((0,b)\)到 p：

d = f(1, b-0.5) = b**2 + (-b+0.25)*a**2
if d <= 0:			# 右
    d = d+(2*x+3)*b**2
else if d > 0:		# 右下
    d = d+(2*x+3)*b**2+(-2y+2)*a**2

p 到 \((a,0)\)：

d = f(x+0.5, y-1) = b**2*(x+0.5)**2+a**2*(y-1)**2-a**2*b**2
if d <= 0:			# 右下
    d = d+(-2*y+3)*a**2+(2x+2)*b**2
else if d > 0:		# 下
    d = d+(-2*y+3)*a**2

图形裁剪

线段

Cohen-Sutherland 代码裁剪算法

四位二进制码表示所在区域，四位分别为 [上下右左]

• code1 = code2 = 0，在窗内
• code1 & code2 != 0，在窗外
• 都不对，则取交点，分类讨论

中点分割裁剪算法

一直二分，直到到达交点

Liang－Barsky 算法

	p	q
1	-\(\Delta\)x	\(x1-xl\)
2	\(\Delta\)x	\(xr-x1\)
3	-\(\Delta\)y	\(y1-yb\)
4	\(\Delta\)y	\(yt-y1\)

\(u_k=q_k / p_k\)

• 若\(\Delta x=0\)，则
  • if q1<0 || q2<0
    • 不在窗口
  • \(u_{max}=\max(0, u_k|pk<0)\)，k=3,4
  • \(u_{min}=\min(1, u_k|pk>0)\)
  • 转后
• 若\(\Delta y=0\)，则
  • if q3<0 || q4<0
    • 不在窗口
  • \(u_{max}=\max(0, u_k|pk<0)\)，k=1,2
  • \(u_{min}=\min(1, u_k|pk>0)\)
  • 转后
• 若都不满足
  • \(u_{max}=\max(0, u_k|pk<0)\)，k=1,2,3,4
  • \(u_{min}=\min(1, u_k|pk>0)\)
  • 转后
• 后：
  • if \(u_{max}>u_{min}\)
    • 不在窗口
  • x = x1 + u · (x2-x1)，y = y1 + u · (y2-y1)，计算交点坐标，然后画线

多边形

Sutherland－Hodgman 逐边裁剪法

逐个点判断是否位于一侧入栈，穿越时计算交点入栈

存在退化边，可以使用颜色异或计算消除

边界裁剪算法

加入交点的窗点集，加入交点的多边形点集，按同一旋转方向排列，遇到交点就判断是否跳转。可能生成多个点集，一直到所有交点都遍历。

内裁剪 / 外裁剪

即保留窗内 / 窗外内容

二维三维图形变换

基本变换

二维变换

\(p' = p·T\)

点形式：[[x, y, 1], ...] ，1为放大倍率

变换矩阵形式：

平移

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix} \]

比例

\[\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

旋转

\[\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

对称

对称于y轴：\(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

对称于x轴：\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

对称于原点：\(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

对称于y=x：\(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

对称于y=-x：\(\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

错切

x = x + cy OR y = y + bx

三维变换

同理，只是最右端上方三个参数代表透视

复合变换

\(p' = p·T_1·T_2· ...\)

\[\begin{bmatrix} x1 & y1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & p \\ c & d & q \\ l & m & s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax1+cy1+l & bx1+dy1+m & px1+qy1+s \end{bmatrix} \]

三维图形投影和消隐

视图

主视图

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

侧视图

\(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

俯视图

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

透视投影

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & p\\ 0 & 1 & 0 & q\\ 0 & 0 & 1 & r\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

结果为\(\begin{bmatrix} x & y & z & px+qy+rz+1 \end{bmatrix}\)

主灭点\(\begin{bmatrix} 1/p & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)同理有y,z灭点

消隐画法

逆时针面向量与视线夹角

若投影到Z-X面上，可见条件为

\(\begin{bmatrix} Z_A-Z_S & X_A-X_S\\ Z_B-Z_A & X_B-X_A \end{bmatrix}>0\)

① 按照三表结构的形式建立描述立体模型的顶点表、环表和面表；
② 根据要生成立体图形的种类（正等轴测投影），采用相应变换矩阵对立体的顶点进行坐标变换；
③ 按照面表中的指示地址从相应的环表中取出顶点序号，利用变换后的顶点坐标对立体的面逐一计算出每个面的E值，根据E的正负判别面的可见性；
④ 对于可见面，按照该面所对应的环表连点绘出多边形的边框。

曲线曲面

抛物线

Hermite 曲线

\(\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 1\\ -3 & 3 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_0\\p_1\\p'_0\\p'_1 \end{bmatrix}\)

Bezier曲线

分割递归算法

\[B_{i,n}(t)=C^i_nt^i(1-t)^{n-i}\\ C(t)=\sum^n_{i=0}p_iB_{i,n}(t) \]

\(C(0)=p_0\)

\(C(1)=p_n\)

• 曲线在两端点处的 r 阶导数只与 r＋1 个相临点有关，而与更远的点无关。
• 点次序颠倒，形状不变

二次Bezier曲线

\[C(t)= \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0\\p_1\\p_2 \end{bmatrix} \]

三次的矩阵

\(\begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -3 & 3 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

k次B样条曲线

\[F_{i,n}(t)=\frac{1}{n!}\sum^{n-k}_{j=0}(-1)^jC^j_{n+1}(t+n-k-j)^{n}\\ C(t)=\sum^n_{k=0}p_{i+k}F_{i,n}(t) \]

二次B样条曲线，\(t\in [0,1]\)

\(\frac{1}{2}*\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ -2 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

三次B样条曲线，\(t\in [0,1]\)

\(\frac{1}{6}*\begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -3 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)