模电笔记 - 04 - 暂态电路分析
暂态电路分析
目录
原理与概念
定义
- 稳态：指电路中的电压和电流在给定条件下已达到某一稳定值的状态
- 暂态：指电路从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态的过渡过程
产生原因
能量不能跃变：能量的积累或释放是需要一定时间的
产生场景
当电路发生接通、切断、短路、电压改变或参数改变等所谓的换路现象时：
- 电容元件：其中储存的电场能不能跃变，功率不能为无穷大，所以电压不能跃变
- 电感元件：其中储存的磁场能不能跃变，功率不能为无穷大，所以电流不能跃变
运用
- 产生各种波形
- 在暂态过程发生的瞬间，可能会出现过电压或过电流，有可能损坏电器设备
换路定则
- 电容元件上电压不能跃变
- 电感元件中电流不能跃变
表示方式
换路时刻
- \(t=0\)：换路瞬间
- \(t=0_-\)：换路前瞬间
- \(t=0_+\)：换路后瞬间
按照时刻定义，换路准则可表示成以下形式：
\[u_C(0_-)=u_C(0_+)\\i_L(0_-)=i_L(0_+)
\]
注意
- 电容元件上的电流是可以跃变的
- 电感元件中的电压是可以跃变的
- 电阻元件的电压、电流都是可以跃变的
RC电路暂态分析
无比感动的最终形式
\[\begin{align}
u_C&=稳态分量+暂态分量
\\&=零输入响应+零状态响应
\\&=U_0e^{-t/\tau}+U(1-e^{-t/\tau})
\\&=U+(U_0-U)e^{-t/\tau}
\end{align}
\]
\(\tau\)值
\[\tau=R_0C\qquad R_0为串联电阻阻值
\]
RL电路暂态分析
无比感动的最终形式
\[\begin{align}i_L&=稳态分量+暂态分量\\&=零输入响应+零状态响应\\&=I_0e^{-t/\tau}+\frac{U}{R}(1-e^{-t/\tau})\\&=\frac{U}{R}+(I_0-\frac{U}{R})e^{-t/\tau}\end{align}
\]
\(\tau\)值
\[\tau=\frac{L}{R_0+R}\qquad R_0为减少的阻值，R为终态阻值
\]
暂态分析三要素法
还是无比感动的最终形式
\[f(t)=f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]\ e^{-t/\tau}
\]
矩形脉冲一阶线性电路
分析方法：分段法
微分电路与积分电路
微分电路
解释
- \(\tau<<t_p\)电容充放电速度远大于电压变化速度
- 输入波形为矩形波时，输出波形为正负尖脉冲
参数
\[\begin{align}
&u_1\approx u_c
\\&u_2=Ri\approx RC\frac{du_1}{dt}
\end{align}
\]
图示
u1为输入电压，u2为输出电压
波形
积分电路
解释
- \(\tau>>t_p\)电容充放电速度远小于电压变化速度
- 输入波形为矩形波时，输出波形为锯齿波
参数
\[\begin{align}
&u_1\approx iR\qquad i\approx \frac{u_1}{R}
\\&u_2=\frac{1}{C}\int idt\approx \frac{1}{RC}\int u_1dt
\end{align}
\]
图示
u1为输入电压，u2为输出电压
波形
RLC串联电路的零输入响应
由于电路中含有两个储能元件，暂态分析的微分方程为二阶微分方程，所以这种电路称为二阶电路
- 换路前电容或电感已储有能量
- 换路后由电容或电感的初始储能所引起的电路响应
图示
公式
\[\begin{align}
&p_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{(\frac{R}{2L}^2-\frac{1}{LC})}
\\&u_c=\frac{U_s}{p_2-p_1}(p_2e^{p_1t}-p_1e^{p_2t})
\\&i=-\frac{CU_s}{p_2-p_1}p_1p_2(e^{p_1t}-e^{p_2t})
\\&u_L=-\frac{LCU_S}{p_2-p_1}p_1p_2(p_1e^{p_1t}-p_2e^{p_2t})
\end{align}
\]
过阻尼放电
特性
是非振荡放电，\(u_c,i\) 始终不改变方向，电容在整个暂态过程中一直是释放电场能
- \(t<t_m\)时电感吸收电场能，建立磁场
- \(t=t_m\)时磁场能达到最大
- \(t>t_m\)时电感释放磁场能
公式
\(p_1,p_2\) 为两个不相等的负实根
\[\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}>0
\]
欠阻尼放电
特性
是振荡放电，\(u_c,i,u_L\) 呈现衰减振荡的变化过程，电容与电感进行能量交换的过程中，电阻不断地消耗一部分能量
- \(i\) 的过零点是\(u_C\)的极值点
- \(u_C\) 的过零点是 \(i\) 的极值点
- \(i\) 的极值有时候很可观
公式
\(p_1,p_2\) 为一对共轭复数
\[\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}<0
\]
等幅振荡(无阻尼振荡)
特性
介于以上二者之间的状态
公式
\(p_1,p_2\) 为一对相等的负实数
\[\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}=0
\]
A geek and poetry lover.
