记一道经典树上Nim游戏

这道题首先是 Hanriver 提出来的,但是大家都不会做,今天看到了一道一模一样的题目 AT2667

题目大意是,每个人删掉一个不是整棵树的原树的子树,给定一个树问游戏状态。

首先,这是需要用到多个游戏与多个状态的定理得到的。但是很明显在此处直接使用定理会产生 \(\mathcal O(2^n)\) 的复杂度,那么应该怎么思考呢?

既然能做,那么有一些状态肯定是不必要进行的,也就是说需要计入 \(\text{mex}\) 的未必是所有的状态。回忆一下,计算 \(\text{SG}\) 值有两种方法:

  1. 子状态的 \(\text{mex}\)
  2. 子游戏的异或和
  3. 一般是归纳证明的对于简单状态结论,或是递推式

如何考虑这道问题呢?当状态过多无法转移时,我们就想要把原来的状态分成若干个子游戏。果然,我们可以拆掉原来的树,像这样:

image

因为不能删根节点,所以这样是可行的。接下来要解决根节点只有一个儿子的情况。

这时候通过观察得到,以根节点的子节点为根的子树,这个点的 \(\text{SG}\) 值加一即为父节点的。

具体证明见 qzhwlzy对博弈论的解读

posted @ 2022-07-10 16:06  Reiss  阅读(183)  评论(1编辑  收藏  举报