格拉姆矩阵 合同矩阵

https://baike.baidu.com/item/格拉姆矩阵/16274086

https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_congruence

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

 

在线性代数中，内积空间中一族向量{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} 的格拉姆矩阵（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是内积的对称矩阵，其元素由{\displaystyle G_{ij}=(v_{j}|v_{i})} 给出。

一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

 

给定一个实矩阵 A，矩阵 ATA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AAT 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} 定义一个格拉姆矩阵 G 为{\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,} 。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

 格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式：

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。

 

posted @ 2019-03-19 17:07  papering  阅读(1356)  评论(0)  编辑  收藏  举报