复变函数1
复变函数的导数：
\[f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}
\]
-
求导时规则和实变量函数一样，把i当作常数。
-
复变函数\(f(z)=u+iv\)在\(z\)点可导：\(u,v\)在该点可导且满足：（柯西-黎曼方程）
\[\begin{equation}
\frac{\part{u}}{\part{x}}=\frac{\part{v}}{\part{y}}\\
\frac{\part{u}}{\part{y}}=-\frac{\part{v}}{\part{x}}
\end{equation}\\
f'(z)=\frac{\part{u}}{\part{x}}+i\frac{\part{v}}{\part{x}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\part{u}}{\part{y}}-i\frac{\part{v}}{\part{y}}
\]
解析区域：
\(f(z)=u+iv\)在区域\(\mathcal{D}\)内解析 = \(u,v\)在区域\(\mathcal{D}\)内可导且满足CR方程 = \(f(z)\)在区域内处处可导。
- 写出实部虚部；
- 带入CR方程，
- 求出解析区域。（若可导区域是一条直线或点，则不可解析）。
调和函数：
调和函数：\(\frac{\part^2{\phi}}{\part{x^2}}+\frac{\part^2{\phi}}{\part{y^2}}=0\);
解析函数\(f(z)=u+iv\)满足：
\[\frac{\part^2{u}}{\part{x^2}}+\frac{\part^2{u}}{\part{y^2}}=0\\ \frac{\part^2{v}}{\part{x^2}}+\frac{\part^2{v}}{\part{y^2}}=0 \]\(f(z)\)的虚部\(v\)称为实部\(u\)的共轭调和函数；
复数列的极限：
- 复数列\(\{\alpha_n=a_n+ib_n\}\)收敛 = \(\lim{a_n}=a,\lim{b_n}=b(n\to\infin);\lim_{n\to\infin}\alpha_n=a+ib\);
- 复数列收敛 = 实部、虚部组成的数列均收敛。
例：设数列\(\alpha_n=\frac{n}{n+1}+i(1+\frac1{n})^{-2n}\),则数列的极限：
\[\lim{a_n}=1\\\lim{b_n}=e^{-2}\\ \lim_{n\to\infin}\alpha_n=1+ie^{-2} \]
求积分
- 简单方法
\[\int_0^1z\sin{z}dz=-\cos{z}z|_0^1+\int_0^1coszdz=\sin1-\cos1
\]
分别沿\(y=x,y=x^2\)，计算基分\(\int_0^{1+i}(x^2+iy)dz\);
\[\int_0^{1+i}(x^2+iy)d(x+iy)\\=\int_0^{1}(t^2+it)dt(1+i)=-\frac16+\frac56i
\]
后者同理；
- 柯西-古萨基本定理
- 设\(c:\{|z-1|=\frac12\}\)，则：\(\oint_{c}\frac{\cos{z}}{z^3}dz=\_0\_\)？
若\(f(z)\)在c 围成的区域内解析，则\(\oint_{c}f(z)dz=0\)。
- \(\oint_{|z|=1}\frac1{\cos{z}}dz\)=0；
\[\cos{z}=0\ 时，z=\frac\pi2+k\pi\notin\{|z|=1\}
\]
因此，处处解析。
- 柯西积分公式
- \(\oint_{c}\frac{e^z}{z}dz，c：\{|z|=1\}\)=\(2\pi i\)
\(f(z)\)在曲线c的内部解析，\(z_0\)在c的内部：
\[f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz \]所以，由于\(e^z=f(z)\)在c内部解析，则：
\[2\pi i\cdot e^0=\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z-0}dz=\oint_{c}\frac{e^z}{z}dz \]
- \(\oint_{|z|=3}\frac{z+1}{z(z-i)}dz\)=
设\(c_1,c_2\)分别是以\(z=0,z=i\)为圆心的两个小圆域；
\[J=\oint_{c_1}\frac{\frac{z+1}{(z-i)}}{z}dz+\oint_{c_2}\frac{\frac{z+1}{z}}{z-i}dz\\
=2\pi i\cdot\frac{z+1}{z-i}|_{z=0}+2\pi i\cdot\frac{z+1}{z}|_{z=i}\\
=2\pi i
\]
- n阶导数(一般用来求积分)
\(f(z)\)在取线c 内部解析，\(z_0\)在c 内部
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]一般用来求积分：
\[\frac{2\pi i}{n!}\cdot f^{(n)}(z_0)=\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]
