∑(O_O)??
∑(O_O)??
这是一篇极为生涩又不那么严肃的简介。
逻辑是啥，能吃吗？
∑ ?
在数学世界经常看到形如：\(a_1+a_2+\cdots+a_n\)的式子，为了方便起见，我们定义符号：
\[\sum_{i=1}^na_i::=a_1+a_2+\cdots+a_n
\]
其中\(\Sigma\)称为连加号。
- 可以这么写：
\[\sum_{i\in\N^+}a_i
\]
- 也可以这么写：
\[\sum_{\spades=1}^N\blacksquare_{\spades}
\]
应当注意到，只要不引起异意，那么用什么作为指标是任意的，他只起到辅助作用，当还原为数列求和时，指标变量并不会出现。
∑ ∑ ?
有时候，连加的数字由两个指标共同编号，于是我们需要用双重连加号：
\[\begin{align}
\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^na_{ij}=&\sum_{i=1}^s(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{in})\\
=&(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1n})\\
&+(a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2n})\\
\cdots\\
&+(a_{s1}+a_{s2}+\cdots+a_{sn})
\end{align}
\]
因为数的假发满足交换律与结合律，所以上述式子可以转化为：
\[\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^na_{ij}=
\begin{array}
(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1n})\\
+(a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2n})\\
\cdots\\
+(a_{s1}+a_{s2}+\cdots+a_{sn})
\end{array}\quad
\Leftrightarrow\quad
\begin{array}
(a_{11}+a_{21}+\cdots+a_{s1})\\
+(a_{12}+a_{22}+\cdots+a_{s2})\\
\cdots\\
+(a_{1n}+a_{2n}+\cdots+a_{sn})
\end{array}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^sa_{ij}
\]
想必细心的小朋友们已经注意到了在双重连加号中，连加号的次序可以颠倒，holy high这都能看出来哒，那我们不妨趁热打铁，通过一个练习来验证一下自己！
设\(A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times m}\)证明：
\[tr(AB)=tr(BA) \]
- 直接看答案的人没我帅：
由矩阵乘法公式得到：
\[AB=(c_{ij})_{m\times m}=(\sum_{t=1}^na_{it}b_{tj})_{m\times m} \]注意到：
\[tr(AB)=\sum_{i=1}^m(AB)_{ii} =\sum_{i=1}^m(\sum_{t=1}^na_{it}b_{ti}) \]同理,
\[tr(BA)=\sum_{i=1}^n(\sum_{t=1}^mb_{it}a_{ti}) \]于是欲证明\(tr(AB)=tr(BA)\)，只需证明：
\[\sum_{i=1}^m(\sum_{t=1}^na_{it}b_{ti})=\sum_{i=1}^n(\sum_{t=1}^mb_{it}a_{ti}) \]
- \(\rightrightarrows\)
\[\begin{align} tr(AB)=&\sum_{i=1}^m(\sum_{t=1}^na_{it}b_{ti})&由于实数相乘可以交换位置\\ =&\sum_{i=1}^m(\sum_{t=1}^nb_{ti}a_{it})&由于双重连加号可以交换次序\\ =&\sum_{t=1}^n\sum_{i=1}^mb_{ti}a_{it}\\ =&\sum_{t=1}^n(\sum_{i=1}^mb_{ti}a_{it})\\ =&\sum_{t=1}^n(BA)_{tt}\\ =&tr(BA) \end{align} \]则，一条及其不严谨的证明就展示在你眼前了/////可以给出一个推论。
在保证挪动矩阵后矩阵乘积仍然定义良好的情况下，用\(F(i)\)表示第\(i\)个相乘的矩阵
\[tr(\prod_{i=1}^nF^{(i)})=tr(F^{(n)}\prod_{i=1}^{n-1}F^{(i)}) \]
如果想搞事情的话
\[\sum_{i=1}^n\sum_{i<j}a_{ij}=a_{12}+(a_{13}+a_{23})+...+(a_{2n}+a_{3n}+...+a_{n-1,n})
\]
还有：
若有两个多项式：
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\\
g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_0
\]
则\(f(x)g(x)\)对应项\(x^t\)的系数就是：
\[\sum_{i+j=t}a_ib_j
\]
