2022摸鱼实录

AFO 的 whker 了

所以刷水题来获得快感。

2022/2/8

如图，\(AM=MB,CM=MD,PC\bot AC,PD\bot BD,PQ\bot AB\)，求证：\(\angle PQC=\angle PQD\)

思考：不难发现有两组四点共圆：\(D,P,Q,B\) 和 \(C,P,Q,A\)，可以考虑将圆做出来，圆心分别是 \(AP,BP\) 的中点，然后 \(M\) 又是中点，这促使我们构造中位线。

我们发现 \(O_1M=O_2P,O_1P=O_2M\)，这驱使我们把半径做出来：

然后就可以得到一组全等三角形：\(\triangle CO_1M \cong \triangle MO_2D \ (S.S.S.)\)，这时得到 \(\angle CO_1M=\angle MO_2D\)，因为四边形 \(PO_1QO_2\) 是平行四边形（两组对边分别平行），所以 \(\angle CO_1P = \angle DO_2P\)，所以 \(\angle CAO_1 = \angle DBO_2\)，所以 \(\angle CQP=\angle DQP\)（同弧所对圆周角相等）。

总的来说，这题还是不错的，至少对于我这样一位中考生来说（然而这好像是 MO 题？），对我的几何能力有很大挑战，~~不过还是想嘲讽一下就这~~

2022/2/9

第一问：

如图，\(\triangle ABC,\triangle CDE\) 都是等边三角形，\(F,G\) 分别是 \(BC,CD\) 的中点，\(H\) 是 \(AE\) 的中点，求证：\(\triangle HFG\) 为等边三角形

看到要我们证是等边三角形，先考虑能不能转一转，似乎能把 \(\triangle GFC\) 绕 \(G\) 往上转，那我们考虑能不能在右上方构造一个全等于 \(\triangle GFC\) 的三角形

考虑找到 \(CE\) 中点 \(I\)，连接 \(IH\)，如图：

这时我们发现 \(HI=\displaystyle\frac{1}{2}AC\)（中位线），然后我们试图证明 \(\angle HIG=\angle FCG\)，这样就相当于将 \(\triangle GFC\) 绕点 \(G\) 旋转了。

因为 \(\angle IGC = 60^{\circ}\) 所以旋转角肯定是 \(60^{\circ}\)，所以我们只要证明上述角相等，命题就得证了。

那么怎么证明角相等呢？

设 \(\angle FCG= \alpha\)，则 \(\angle ACE=240^{\circ}-\alpha\)，则 \(\angle HIC=\alpha-60^{\circ}\)，所以 \(\angle HIG=\angle HIC + \angle GIC = \alpha\)，然后就可以证全等了。

第二问：

如图，在第一问的条件下，\(J\) 为 \(BD\) 中点，\(CK \bot BD\) 于 \(K\)，求证：\(HJ=HK\)

我们发现 \(FJ\) 是中位线，所以 \(FJ=\displaystyle\frac{1}{2}CD\)，同时 \(KG\) 是直角三角形斜边上的中线，所以 \(KG=\displaystyle\frac{1}{2}CD\)，所以 \(KG=FJ\)。

连接 \(KG,FJ\) 如图：

因为 \(HG=HF\)，这仍然驱使我们去证全等，考虑到 \(CK \bot BD\)，而 \(BD // FG\)，所以 \(CK \bot GF\)，又因为 \(CG=\displaystyle\frac{1}{2}CD=GK\)，则 \(\angle CGF=\angle FGK\)，因为 \(\angle CGF = \angle GFJ\)（内错角相等），所以 \(\angle GFJ = \angle FGK\)，所以 \(\angle HFJ= \angle HGK\)，一个 \(S.A.S.\) 的全等就证出来了（\(\triangle HFJ \cong \triangle HGK\)），然后就得到 \(HJ=HK\)。

偶尔做做八年级的题也不错。

蛤？要分班考？

还要我准备是吧？

那我来准备力！

2022-08-09

过程：

思路及评价：考虑通过相似把证共点改为线段的比例关系，原问题转换为证 \(D\) 为 \(GH\) 中点，再注意到 \(J\) 再 \(CI\) 上，其他就很简单了。果然是初联水题！

PS：之前以为 \(L\)，\(M\) 共点~~（lyk和ym）~~。

2022-08-10

过程：

思路及评价：想到同一法就秒了（可惜我没想到，看来我还是逊），听说答案解法很难算？我觉得那些算的方法和根轴是等价的吧！这种水题少做。

2022-08-11

两圆相交的相似。

十分经典，于是直接放过程了。

好像还鸽了个也很简单的，不过相似比我一直导不出来。

2022-08-12

过程：

思路及评价：看到中点有很多种处理方法，中点遇上平行构造中位线，又是两圆相交的一个相似，有这些后导导角就做出来了。去年联赛题，虽然我在场外觉得很水，不过场上这个图就贼难画，而且紧张的话说不定导不出比。不过思维含量的确不高。

2022-08-13

过程：

思路及评价：这里考虑把 \(AG\) 往外移，发现平行四边形的中心也能产生中点，于是我们打算倍长，这样相当于把 \(AG\) 移到了 \(D\) 上，和中点这个条件凑到一起了。然后又发现还有一个平行四边形，且发现 \(J\) 好像在圆上的样子，于是我们考虑先证明 \(J\) 在圆上，这样可以把垂直转为证边的相等，简化了问题。证完这个之后我们又发现两个等腰梯形，于是原命题的证。

很妙，我觉得。出题人通过平行四边形，等腰三角形，和圆构造出了两个等腰梯形，比较腻害！

2022-08-14

过程：

思路及评价：我的想法是，由特殊到一般，于是我先找了切点的情况，很快发现一组相似，然后证明了 \(\angle BGD=\frac{\pi}{2}\)，入一般之后就是证 \(\angle FBG+\angle GDF=\angle EBG+\angle EDG\)。下午发现 \(\angle BFE-\angle BEF=\alpha\) 和 \(\angle GFE-\angle GEF=\beta\)（其实 \(\beta\) 那个是早上发现的，下午类推），然后就考虑通过角的差值证明它们和相等，导会角就出来了。

感觉自己确实整复杂了，但是，我觉得我的思路很自然啊？

2022-08-15

过程：

思路及评价：看到内心直觉鸡爪（因为我不会其它的了），然后发现 \(P\) 是四等分点，画图的时候我们会用到中点，而这个中点由于是等腰三角形的缘故会在 \(OI\) 线上，然后 \(OD\bot AC\)，显然有一个四点共圆的相似，然后导导比，发现一个新的相似，然后观察到 \(QM\bot BI\)，考虑能不能通过四点共圆来证垂直，于是导导角，然后就出来了。

好寄吧水啊，高联几何能不能别这么水！！！这还比不上中考题趴！！！