[✗✓OI R1] 后方之水

数学题，果然我数学不好。

首先，合并石子的顺序与答案无关，因为每个石子对其他石子都产生了乘积的贡献。

所以总代价就是 \(\displaystyle\sum_{\sum a =S}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}=\sum_{\sum a=S}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}a_{j}-\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}{2}=\frac{\displaystyle \sum_{\sum a=S} S^2-\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}{2}。\)

考虑插板法，因为这个相当于把 \(S\) 个物品分成 \(n\) 份，方案数就是 \(\displaystyle\binom{S-1}{n-1}\)，所以就有。

\[\frac{\sum_{\sum a=S} S^2-\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}{2} = \frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-\sum_{\sum a=S} \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}{2} \]

后面那一坨玩意该怎么算呢？

考虑对于每一个数 \(i\in [1,S]\) 它会出现多少次，这个也是插板法，强制 \(S\) 中选出 \(i\) 个，然后将剩下的分成 \(n-1\) 组，即 \(\displaystyle\binom{S-i-1}{n-2}\)，然后还要乘上一个 \(n\) 表示 \(i\) 可能被分到 \(n\) 种组里去。

即 \(\displaystyle\frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-\sum_{\sum a=S} \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}{2}=\frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-n\sum_{i=1}^{S}\binom{S-i-1}{n-2}i^2}{2}\)。

右边那玩意儿很像卷积的形式，我们卷起来的那两个式子拿出来，得到他们的生成函数。

\[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)^2x^i = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\\ g(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i-1}{n-2}x^i = \bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)^{n-1} \]

然后：

\[\frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-n[x^S]\bigg( \bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)^{n-1} \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\bigg)}{2} \\ =\frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-n[x^S]\frac{x^n(1+x)}{(1-x)^{n+2}}}{2} \\ \]

我们把 \(\displaystyle\frac{x^n(1+x)}{(1-x)^{n+2}}\) 展开：

\[\frac{x^n(1+x)}{(1-x)^{n+2}}=\frac{x^n}{(1-x)^{n+2}}+\frac{x^{{n+1}}}{(1-x)^{n+2}}=\frac{1}{(1-x)^2}\cdot \big( \frac{x}{1-x} \big) ^n + \frac{1}{1-x}\cdot \big( \frac{x}{1-x} \big) ^{n+1} \\ =\sum_{i=0}^{\infty} (\sum_{j=0}^{i}(j+1)\binom{i-j-1}{n-1}) x^i + \sum_{i=0}^{\infty} (\sum_{j=0}^{i}\binom{i-j-1}{n}) x^i \\ =\sum_{i=0}^{\infty} \big( \binom{i}{n+1} + \binom{i+1}{n+1} \big) x^i \]

所以 \([x^S]=\displaystyle \binom{S}{n+1} + \binom{S+1}{n+1}\)，

所以原式：\(\frac{\displaystyle S^2\binom{S-1}{n-1}-n\bigg( \binom{S}{n+1} + \binom{S+1}{n+1}\bigg)}{2} = \displaystyle\binom{S+1}{n+1}\binom{n}{2}\)