附录D——自动微分(Autodiff)
本文介绍了五种微分方式,最后两种才是自动微分。
前两种方法求出了原函数对应的导函数,后三种方法只是求出了某一点的导数。
假设原函数是$f(x,y) = x^2y + y +2$,需要求其偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$,以便应用于梯度下降等算法。
1、手工求导
该方法比较简单,就是自备纸笔,应用基本的求导规则,以及链式求导法则,人工求导。缺点是对于复杂函数容易出错。幸运的是,这一计算过程可由计算机帮我们完成,这就是符号微分。
2、符号微分(Symbolic Differentiation)
如图D-1所示,使用符号微分的方法,计算函数$g(x,y) = 5 + xy$的偏导数。该图左侧代表函数$g(x,y)$,右侧代表$g(x,y)$关于$x$的偏导数$\frac{\partial g}{\partial x} = 0 + (0 \times x + y \times 1) = y$(同样的,可以求得$\frac{\partial g}{\partial y}$)。
图D-1 符号微分
该算法首先求叶子节点关于$x$的偏导数,然后沿着树向上,求得其他节点关于自变量的偏导数。这与手工求导所使用的规则是一样的。
如果函数复杂,该算法生成的树将十分庞大,性能不高。而且无法对很随意的代码求导,例如:
def my_func(a, b): z = 0 for i in range(100): z = a * np.cos(z + i) + z * np.sin(b - i) return z
3、数值微分(Numerical Differentiation)
这是根据导数的定义来求解的。函数$h(x)$在$x_0$点的导数为:
$h'(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{h(x_0 + \varepsilon) - h(x_0)}{\varepsilon}$
我们取一个很小的$\varepsilon$,带入公式进行计算即可。该方法所得结果不够精确,参数过多时计算量也比较大。但是计算起来很简单,可用于校验手工算出的导数是否正确。
如果有1000个参数,至少需要调用$h(x)$1001词,来求得所有偏导数。
4、前向自动微分(Forward-Mode Autodiff)
该算法依赖一个虚数(dual numbers,这让我想起来oracle的虚表。难度dual可以表示虚无的意思?) $\varepsilon$,满足$\varepsilon^2 = 0$但是$\varepsilon \neq 0$(姑且理解为一阶无穷小吧)。
由于$\varepsilon$是无穷小,因此满足$h(a + b \varepsilon) = h(a) + b \times h'(a)\varepsilon$。因此,算出$h(a + \varepsilon) $可以同时得到$h(a)$和$h'(a)$,如图D-2所示。
图D-2 前向自动微分
上图值计算了$\frac{\partial f}{\partial x}(3,4)$,同样的方法可以算的$\frac{\partial f}{\partial y}(3,4)$。
如果有1000个参数,需要遍历上图1000次,来求得所有偏导数。
5、反向自动微分(Reverse-Mode Autodiff)
这是TensorFlow所采用的自动微分算法。如图D-3所示,该算法首先前向(也就是从输入到输出)计算每个节点的值,然后反向(从输出到输入)计算所有的偏导数。
图D-3 反向自动微分
反向计算时应用链式求导法则:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial n_i} \times \frac{\partial n_i}{\partial x}$
由于$n_7$就是输出节点,$f = n_7$,因此$\frac{\partial f}{\partial n_7} = 1$。
该算法强大且精确,尤其是输入很多,输出很少时。假如函数有10个输出(不管输入是1千,2万还是更多),求得所有偏导数需要对上图遍历11次。
各个算法比较: