day2_ 数论

研究整数有关的理论，研究取膜意义下的运算理论。

1.枚举一个数的所有约数   o（sqrt（n））

没啥好说的，直接代码。

2.分解质因数

就是从2开始枚举，如果这个没被去掉过，就把他的倍数全都消掉，这样我们每次取的时候都是这个数的质因数；一个数最多有一个>sqrt(n)的质因数，且这个质因数的指数最多是1。

补充：

算数基本定理：任何一个大于一的非质数N，N可以唯一分解成有限个质数的成绩，暨N=p1^q1*p2^q2*……*pk*qk；q1~qk均为正整数，p1~pk均为质数；

3.一个数最多有多少个约数？

由算数基本定理得每一个pi都有qi + 1种方法（不是q（i+1））,因为可以看成一个决策问题，每一个位置可选可不选，选的话选几个，这样就是每一位有qi+1种取法；暨n的约数和ans*=（qi +1）（1<=i<=k）;

4.1~n所有的数的因数个数和怎么表示，或者数量级是多少；O（n）

以为有啥贼强的小结论啥的，经过两个巨佬吊打后，告诉我直接求出每一个数的因数个数和，然后加起来就行了？？？行吧。

巨佬传送门：

嗯，那么问题变成怎么求一个数的因数和。我们还得用到算数基本定理：

我们知道一个数有多少个因数，那么我们把他加起来不就完了。

Ans=（1+p1+p1^2+……+p1^q1）（1+ p2+p2^2+……+p2^q2）……（1+pk+pk^2+……+pk^qk）;把这个式子拆开就是所有约数的和；

5.怎么找1~n的所有素数

欧拉线性筛

 

6.最大公约数

欧几里得算法（辗转相除，辗转相减）；

7.同余

同余的基本运算：

反身性：a≡a (mod m)

对称性： 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)

传递性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)

同余式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a ± c≡b ± d(mod m)

同余式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则ac≡bd(mod m)

线性运算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a ± c≡b ± d(mod m)，且a * c≡b * d(mod m)

除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)

幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)

若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数

求线性同余方程的解

1.扩展欧几里得算法：

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

　　 要求线性同余方程的解，首先要学会用扩展欧几里得算法求不定方程的最小解；

 未完待续……