[C++]P3379 LCA 最近公共祖先
最近公共祖先 LCA 倍增写法
LCA的倍增主要由三个重要的过程组成
预处理lg数组
DFS求fa depth
倍增节点
观看以下内容前建议先把完整代码大致纵览一遍，有利于理解各个函数的意义
倍增思想
暴力解决LCA是通过 x 和 y 一个一个的往上跳
而倍增的思想是希望节点能够一次性尽可能的多跳
并且可以通过一个有序数列来控制跳的层数
1 2 4 8 16 32 ...
\(2^0\) \(2^1\) \(2^2\) \(2^3\) \(2^4\) \(2^5\) ...
（可以有机联想10进制到2进制的转化）
比如： 当前需要跳35层
35 - 32 = 3
3 - 2 = 1
1 - 1 = 0
这样就将原本需要跳35次压缩到只需要跳3次
那如何知道应该跳几次呢？
这时候就要通过lg数组来实现
预处理lg数组
lg数组的含义： \(lg[i]\) 代表深度为i的节点一次性可以往上最多跳 2(lg[i]-1) 个节点
在 Read() 中，我们可以找到如下代码：
for(int i = 1;i <= n;i++){
lg[i] = lg[i-1] + (1 << lg[i-1] == i);
}
为了理解这段话的意思 我们先把这个处理后的数组 lg[0 - 100] 打印出来：
0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
比如： 当预期要跳的深度为35 那就看 lg[35] = 6
则需要跳的次数为 26-1 = 32
所以最多跳32层
其余也是同理
DFS求fa depth
Code
void dfs(int u,int f){
fa[u][0] = f;
depth[u] = depth[f] + 1;
for(int i = 1;i <= lg[depth[u]];i++)
fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
for(int i = head[u];i;i = e[i].u){
if(e[i].v != f) dfs(e[i].v,u);
}
}
求depth
我们都知道DFS是从上往下搜的
可以通过父节点的depth+1来得到当前节点的depth
因此处理depth只需要将父节点的值加1即可：
depth[u] = depth[f] + 1;
求fa
要求fa数组要先搞懂其含义：\(fa[i][j]\) 指 节点 \(i\) 的 \(2^j\)级祖先
由于 \(2^j\) = 2j-1 + 2j-1
所以 \(i\) 的 2j-1 级祖先的 \(j-1\) 级祖先就是 \(i\) 的 \(j\) 级祖先：
fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
既然要通过前面的fa求后面的fa
那必须将\(fa[i][0]\)求出 既 \(i\) 的父节点：
fa[u][0] = f;
倍增节点
Code
int LCA(int x,int y){
if(depth[x] < depth[y]) swap(x,y);//让 节点x 作为较深的节点
while(depth[x] > depth[y]){//把 x 和 y 放至相同深度
x = fa[x][lg[depth[x]-depth[y]] - 1];
}
if(x == y) return y;/*
如果 x 被拉到 y 上
说明 y 就是 x 的祖先
因此直接返回 y
*/
for(int k = lg[depth[x]] - 1;k >= 0;k--){
if(fa[x][k] != fa[y][k])//如果 x 和 y 没有相遇 则说明可以倍增到这个位置
x = fa[x][k],y = fa[y][k];
}
return fa[x][0];//返回 x 的父亲节点
}
注释中写道 如果 x 和 y 没有相遇 则说明可以倍增到这个位置
这是什么意思？
我们不妨设想如果没有这个if()
直接相遇就break；
那就会发生非最近公共祖先的问题（就是倍增过头了）
因此一直倍增却不允许相遇 就会让他们停在LCA的下一层
这一部分比较简单 所以就直接把注释打在代码上了
完整代码
//P3379 注释版
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500010
using namespace std;
int head[maxn],cnt;
struct tree{
int u,v;
tree(int a = 0,int b = 0){
u = head[a];
v = b;
}
}e[maxn << 1];
void add(int u,int v){
e[++cnt]=tree(u,v);
head[u] = cnt;
e[++cnt]=tree(v,u);
head[v] = cnt;
}//邻接表
int depth[maxn],fa[maxn][22],lg[maxn];
int m,n,s;
/*
定义变量
depth[i] 节点i的深度
fa[i][j] 节点i的2^J级祖先
lg[i] 辅助参数
*/
void Read(){//输入
cin >> n >> m >> s;
int x,y;
for(int i = 1;i < n;i++){
cin >> x >> y;
add(x,y);
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
lg[i] = lg[i-1] + (1 << lg[i-1] == i);
}/*
常数优化
lg[i]代表深度为i的节点可以往上最多跳2^(lg[i] - 1)个节点
*/
}
void dfs(int u,int f){
fa[u][0] = f;
depth[u] = depth[f] + 1;
for(int i = 1;i <= lg[depth[u]];i++)
fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
for(int i = head[u];i;i = e[i].u){
if(e[i].v != f) dfs(e[i].v,u);
}
}/*
DFS
可以求出 fa depth
*/
int LCA(int x,int y){
if(depth[x] < depth[y]) swap(x,y);//让 节点x 作为较深的节点
while(depth[x] > depth[y]){//把 x 和 y 放至相同深度
x = fa[x][lg[depth[x]-depth[y]] - 1];
}
if(x == y) return y;/*
如果 x 被拉到 y 上
说明 y 就是 x 的祖先
因此直接返回 y
*/
for(int k = lg[depth[x]] - 1;k >= 0;k--){
if(fa[x][k] != fa[y][k])//如果 x 和 y 没有相遇 则说明可以倍增到这个位置
x = fa[x][k],y = fa[y][k];
}
return fa[x][0];//返回 x 的父亲节点
}
int main(){
Read();
dfs(s,0);
for(int i = 1;i <= m;i++){
int x,y;
cin >> x >> y;
cout << LCA(x,y) <<endl;
}
return 0;
}
