Bezier curve和B-spline（三）

B样条曲线产生背景及定义

B样条产生的背景

Bezier 曲线曲面有很多优点，比如说可以用鼠标拖动控制顶点以改变曲线的形状，非常直观，给设计人员很大的自由度。

Bezier 曲线曲面是几何造型的主要方法和工具。

但是Bezier 曲线有几点不足：

（1）一旦确定了特征多边形的顶点数（n+1）个，也就决定了曲线的阶次（n次）

（2）Bezier 曲线或曲面的拼接比较复杂

（3）Bezier 曲线或曲面不能作局部修改

1972年，Gordon、Riesenfeld 等人提出了B样条方法，在保留 Bezier 方法全部优点的同时，克服了 Bezier 方法的缺点。

样条：分段连续多项式。

整条曲线有一个完整的表达形式，但内在的量是一端一段的，比如一堆的3次曲线拼过去，两条之间满足2次连续。这样既克服了波动现象，曲线又是低次的。既有统一的表达又有统一的算法。

如何进行分段呢？

B样条的递推定义和性质

B样条曲线的数字表达式为：

de Boor-Cox 递推定义

B样条基函数可以有各种各样的定义方式，但是公认的最容易理解的是 de Boor-Cox 递推定义。

它的原理是：只要是k阶（k-1次）的 B样条基函数，构造一种递推的公式，由0次构造1次，1次构造2次，2次构造3次，以此类推。

 

 

B样条基函数定义区间及节点向量

K阶B样条对应节点向量数

B样条函数定义区间

 

 

B样条曲线定义

B样条曲线性质及类型划分

B样条基函数的主要性质

局部支撑性

权性

连续性

分段参数多项式

B样条函数的主要性质

局部性

变差缩减性

设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P（t）的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与P（t）的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。

几何不变性

B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。

凸包性

B样条曲线类型的划分

均匀B样条曲线

准均匀B样条曲线

分段Bezier 曲线

 

B样条曲线用分段Bezier 曲线表示后，各个曲线段就具有了相对的独立性。另外，Bezier 曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用，缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。

非均匀B样条曲线

当节点沿参数轴的分布不等距时，表示非均匀B样条函数。

B样条曲面