计算机中浮点数的表示

IEEE浮点数表示：

在C语言中浮点数有两个size，32位和64位。其中32位浮点数：第1位是SignFlag（符号位），2-9位是阶码位（exponent），10-32位是尾数位（significand）。64位分别是第1位，2-12位，13-64位。

浮点数大小的公式是：\(x = (-1)^{s} * 2^E*M\)

规格化值

\(E = exp-(2^{k-1}-1)\)，将\(exp\)看作无符号整数，\(k\)为\(exp\)的位数。

例如，对于32位浮点数来说\(k = 8,E\in[-126,127]\)，对于64位浮点数来说\(k=11,E\in[-1022,1023]\)。

\(M = 1+0.frac\)，将\(frac\)看作小数值。

例如\(frac = 1011_2\)，那\(M = 1_2+0.1011_2 = 1.1011_2 = 1\dfrac{11}{16}\)。

这是通常情况下（规格化值）的计算公式，还有三种特殊情况。

非规格化值

当\(exp=0\)时，即是非规格化的值，这时：

\(E = 1-(2^{k-1}-1)，k\)为\(exp\)的位数。

例如，对于32位非规格化值\(k=8，E = 1-(2^7-1) = -126\)，对于64位来说\(k=11，E=1-(2^10-1)=-1022\)，我们发现非规格化的\(E\)和规格化的\(E\)的下界相等，这会导致非规格化值到规格化值的平滑转换。

\(M = 0.frac\)

特殊值

当\(exp的\)位模式全为1时，也就是无符号整数的最大值，这时为特殊值，有两个特殊值：

1. 当\(frac=0\)时，浮点数为无穷大
2. 否则，浮点数为NaN（Not a Number），例如：\(\sqrt{-1}\) 。

舍入

IEEE标准中，由于精度问题，当一个浮点数无法准确表示一个实数时需要进行舍入。所用的方法是向偶数舍入。

用几个例子说明：

数字	舍入后
1.4	1
1.6	2
1.5	2
2.5	2
3.5	4

如果该数字正好在上下界之间，则向偶数舍入，与我们通常的四舍五入略有区别。这样做的好处是：当有一组浮点数放在一起求平均值时可以保证误差最小，因为每个在上下界之间的数字都有百分之五十几率向下舍入，百分之五十几率向上舍入。

对于二进制小数也是如此

二进制小数	舍入后（保留小数点后一位）
10.01	10.0
10.011	10.1
10.11	11.0
11.001	11.0