LeetCode53：最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。
O(n)的方法就是遍历，然后一直记录直到上一个位置的最大值，记录为last。如果last小于0就清零，然后再加上当前位置的值，最后与best进行比较。
1 class Solution { 2 public: 3 int maxSubArray(vector<int>& nums) { 4 int last=0,best=INT_MIN; 5 for(int i=0;i<nums.size();i++){ 6 if(last<0) 7 last=0; 8 last+=nums[i]; 9 best=last>best?last:best; 10 } 11 return best; 12 } 13 };
还有就是分治法，非常巧妙，可以在logn时间内解决问题，这里贴一下LeetCode的解析。
这个分治方法类似于「线段树求解 LCIS 问题」的 pushUp 操作。 也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐看一看线段树区间合并法解决 多次询问 的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。
我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 aa 序列 [l, r][l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l, r][l,r]，我们取 m = \lfloor \frac{l + r}{2} \rfloorm=⌊
2
l+r
⌋，对区间 [l, m][l,m] 和 [m + 1, r][m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 11 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l, m][l,m] 区间的信息和 [m + 1, r][m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l, r][l,r] 的信息。最关键的两个问题是：
我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？
对于一个区间 [l, r][l,r]，我们可以维护四个量：
lSum 表示 [l, r][l,r] 内以 ll 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l, r][l,r] 内以 rr 为右端点的最大子段和
mSum 表示 [l, r][l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l, r][l,r] 的区间和
以下简称 [l, m][l,m] 为 [l, r][l,r] 的「左子区间」，[m + 1, r][m+1,r] 为 [l, r][l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l, r][l,r] 的信息）？对于长度为 11 的区间 [i, i][i,i]，四个量的值都和 a_ia
i
相等。对于长度大于 11 的区间：
首先最好维护的是 iSum，区间 [l, r][l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l, r][l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l, r][l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l, r][l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑 [l, r][l,r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 mm——它可能不跨越 mm，也就是说 [l, r][l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和 「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 mm，可能是「左子区间」的 rSum 和 「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
这样问题就得到了解决。
1 class Solution { 2 public: 3 struct Status { 4 int lSum, rSum, mSum, iSum; 5 }; 6 7 Status pushUp(Status l, Status r) { 8 int iSum = l.iSum + r.iSum; 9 int lSum = max(l.lSum, l.iSum + r.lSum); 10 int rSum = max(r.rSum, r.iSum + l.rSum); 11 int mSum = max(max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum); 12 return (Status) {lSum, rSum, mSum, iSum}; 13 }; 14 15 Status get(vector<int> &a, int l, int r) { 16 if (l == r) return (Status) {a[l], a[l], a[l], a[l]}; 17 int m = (l + r) >> 1; 18 Status lSub = get(a, l, m); 19 Status rSub = get(a, m + 1, r); 20 return pushUp(lSub, rSub); 21 } 22 23 int maxSubArray(vector<int>& nums) { 24 return get(nums, 0, nums.size() - 1).mSum; 25 } 26 }; 27 28 作者：LeetCode-Solution 29 链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/zui-da-zi-xu-he-by-leetcode-solution/ 30 来源：力扣（LeetCode） 31 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
