初等函数——三角函数

定义：

直角三角形与三角函数的定义　　

　　在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：

 

单位圆的定义

 　　六个三角函数也可以依据半径为1，中心为原点的单位圆来定义。

 

 

函数图像

　　

 

基本公式

 两角和公式

　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 

　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 

　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 

　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 

　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 

　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 

　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 

 倍角公式 

　　tan2A = 2tanA/(1-tan² A) 

　　sin2A=2sinA•cosA 

　　Cos2A = cos²2 A-sin² A 

　　　　     =2cos² A—1 

　　　　　　=1—2sin²2 A 

 三倍角公式 

　　sin3A = 3sinA-4(sinA)³; 

　　cos3A = 4(cosA)³ -3cosA 

　　tan3A = tanA • tan(π/3+A)• tan(π/3-A) 

 半角公式 

　　sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} 

　　cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} 

　　tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} 

　　cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}

　　tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 

 和差化积 

　　sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 

　　sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 

　　cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 

　　cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 

 积化和差 

　　sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] 

　　cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] 

　　sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 

　　cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 

 诱导公式 

　　sin(-a) = -sin(a) 

　　cos(-a) = cos(a) 

　　sin(π/2-a) = cos(a) 

　　cos(π/2-a) = sin(a) 

　　sin(π/2+a) = cos(a) 

　　cos(π/2+a) = -sin(a) 

　　sin(π-a) = sin(a) 

　　cos(π-a) = -cos(a) 

　　sin(π+a) = -sin(a) 

　　cos(π+a) = -cos(a) 

　　tgA=tanA = sinA/cosA 

 万能公式 

　　sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²} 

　　cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²} 

　　tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2} 

 其它公式 

　　a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a²+b²)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] 

　　a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a²+b²)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 

　　1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]²; 

　　1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]²;

 其他非重点三角函数 

　　csc(a) = 1/sin(a) 

　　sec(a) = 1/cos(a)