自然常数e的含义

 

　　e是一个重要的常数，但是它的直观含义却不像 π 那么明了。我们都知道，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记作 π = 3.14159......可是e代表什么呢？

　　e是“指数”（exponential）的首字母，也是欧拉名字的首字母。和圆周率 π 及虚单位 i 一样，e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布·伯努利，他开始尝试计算lim(1+1/n)^n 的值，1727年欧拉首次使用小写字母 “e” 表示这常数，此后遂成标准。

　　e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。

　　以e为底的对数称为自然对数（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Natural number）。对于这个自然（Natural）如何理解，就需要发挥你的想象力了！

e是增长的极限

　　简单来说，e就是增长的极限！

　　下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释：

　　1. 某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：

　　　　　　growth = 2 * X （X表示天数）

　　改写：

　　　　　　growth = （１＋100%） * X   （100%表示单位时间内（24小时）的增长率）

　　2. 根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：

　　　　　　

　　即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

　　

　　3. 若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：

　　            

 

　　4. 实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：

　                  　

 

　　当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 。

　　这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

                

 

你不会自成“大款”——到e为止

　　有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。

　　1. 假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？

                       

　　2. 但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢：

                            

　　3. 我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接近e：

　　　　　　　     　

　　4. 为了便于思考，取n等于50：

　　                       

　　　　当利息率是5%时，存款增长率就相当于e的20分之一次方：

　　　　　　　　　　  

　　　　1/20正好等于5%，所以我们可以把上式改写成：

　　　　　　　　　　　　　　　　rate表示利率！

　　5. 再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为：

　　　　　　　　　　　　

　　　　这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。

 

　　那么，如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程：

                                

　　计算结果得13.86年：

　　　　　　　　　　　　

　　可以看到：用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。