二叉查找树

二叉查找树

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3层二叉查找树

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

  1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
  2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
  3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(logn),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).

虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态排序方法.

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[编辑]二元排序树的查找算法

在二元排序树b中查找x的过程为：

  1. 若b是空树，则搜索失败，否则：
  2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
  3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
  4. 查找右子树。
c++ code

Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){
	//在根指针T所指二元排序樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功，
	//則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後
	//一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL
	if(!T){ p=f; return FALSE;}	//查找不成功
	else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;}	//查找成功
	else if LT(key,T->data.key) 
return SearchBST(T->lchild, key, T, p);	//在左子樹中繼續查找
	else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子樹中繼續查找
}

[编辑]在二叉排序树插入结点的算法

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：

  1. 若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：
  2. 若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：
  3. 若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：
  4. 把s所指结点插入到右子树中。
/*当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e){
	if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p){
		s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
		if(!p)  T-s;	//被插结点*s为新的根结点
		else if LT(e.key, p->data.key) p->lchld = s;	//被子插结点*s为左孩子
		else p->rchild = s;	//被插结点*s为右孩子
		return TRUE;
	}
	else return FALSE;	//树中已有关键字相同的结点，不再插入
}

[编辑]在二叉排序树删除结点的算法

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

  1. 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
  2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
  3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：
Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){
	//若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
	//TRUE；否则返回FALSE
	if(!T) return FALSE;	//不存在关键字等于key的数据元素
	else{
		if(EQ(key, T->data.key)) {return Delete(T)};		找到关键字等于key的数据元素
		else if(LT(key, T->data.key))	return DeleteBST(T->lchild, key);
		else return DeleteBST(T->rchild, key);
	}
}
Status Delete(BiTree &p){
	//从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树
	if(!p->rchild){	//右子树空则只需重接它的左子树
		q=p; p=p->lchild;	free(q);
	}
	else if(!p->lchild){	//左子树空只需重接它的右子树
		q=p; p=p->rchild; free(q);
	}
	else{	//左右子树均不空
		q=p; 
                s=p->lchild;
		while(s->rchild){ 
                       q=s; 
                       s=s->rchild
                }	//转左，然后向右到尽头
		p->data = s->data;	//s指向被删结点的“前驱”
		if(q!=p)	
                       q->rchild = s->lchild;	//重接*q的右子树
		else 
                        q->lchild = s->lchild;	//重接*q的左子树
		free(s);
	}
	return TRUE;
}

[编辑]二叉排序树性能分析

每个结点的Ci为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其平均查找长度为\frac{n+1}{2}（和顺序查找相同），最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(n)成正比（O(log2(n))）。

Deleting a node with two children from a binary search tree

[编辑]二叉排序树的优化

  1. Size Balanced Tree(SBT)
  2. AVL树
  3. 红黑树
  4. Treap(Tree+Heap)

这些均可以使查找树的高度为O(logn)

posted @ 2010-03-25 16:55  心梦帆影  阅读(505)  评论(0)  编辑  收藏  举报