3D数学读书笔记——笛卡尔坐标系统

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1.3D数学是一门和计算机几何相关的学科，计算几何则是研究用数值方法解决几何问题的学科。3D数学讲解如何在3D空间中精确度量位置、距离和角度。

 

2.在3D数学里使用最广泛的度量体系是笛卡尔坐标系统。（笛卡尔数学由法国数学家Rene Descartes发明，并以他的名字命名）

 

3.关于数的类型：实数包含有理数和无理数(如果用小数表示小数后面有无穷多位)。

    实数数学被很多人认为是数学中最重要的领域之一，因为它是工程学的基础，人类使用实数创建了文明。

  最酷的事情是有理数可数，而实数不可数。研究自然数和整数的领域称作离散数学，研究实数的领域称作连续数学。

（许多物理学家们都认为：实数只是一种错觉，因为宇宙是离散和有限的。）

 

4.c++提供的多种数据类型来描述3D虚拟世界，包括short,int,float和double。

   short是16位整数，可以代表65536个不同的数值，虽然这个数很大，但是量度现实世界还是远远不够的。

  int是32位整数，可以代表4,294,967,296个不同的数值。

  float是32位有理数，可以代表4,294,967,296个数值。

  double是64位有理数，与float类似。

 

5.为虚拟世界选择度量单位的关键是选择离散的精度。有一种错误的观点认为short、int是离散的，而float、double是连续的，而实践上这些数据类型都是离散的。

 

    计算机图形学第一准则：近似原则 如果它看上去是对的它就是对的。（感觉应该叫计算机实现第一准则—_—!）

 

6.2D笛卡尔坐标系有以下两点定义：

    A. 每个2D笛卡尔坐标系都有一个特殊的点，称作原点（Origin(0,0)），它是坐标系的中心。

   B. 每个2D笛卡尔坐标系都有两条过原点的直线向两边无限延伸，称做轴(axis)。两个轴相互垂直。

 

    笛卡尔坐标系特点：

    A. 2D坐标空间是无限伸展的。

  B. 坐标系中的直线没有宽度，坐标系中每个点都是坐标系的一部分。

 

7.2D笛卡尔坐标系：水平的轴称作X轴，向右为X轴的正方向，垂直的轴称作Y轴，向上为Y轴的正方向，这是表示2D坐标系的惯用法。（注意：名词“水平”和“垂直”实际上并不准确）。

 

8.如下图，无论我们为X轴和Y轴选择什么方向，总能通过旋转使X轴向右为正，Y轴向上为正。所有从某种意义上讲，所有的2D坐标系都是“等价”的。

 

    ps：这种说法对3D坐标系是不成立的。

9.关于2D笛卡尔坐标系的其他一些概念：

    A. 在2D平面中，两个数（x，y）就可以定位一个点，且2D坐标的标准表示法就是（x，y）。

   B. （x，y）每一个分量都是到相应的轴的有符号距离，x分量表示该点到Y轴的“有符号距离”。同样Y分量表示该点到X轴的“有符号距离”。

   ps：有符号距离是指在某个方向上距离为正，而在相反的方向上距离为负。

 

 

10.3D坐标系：我们需要用3个轴来表示三维坐标系，前两个轴称作X轴和Y轴，这类似于2D平面，但并不等同于2D的轴，第3个轴称作Z轴。（3各轴互相垂直）。

 

11.在3D中定位一个点需要3个数：x，y和z，分别代表该点到yz，xz和xy平面的有符号距离。

 

 

12.对于任意的3D坐标系，通过旋转我们只能使用个轴和目标相同，第三个轴总是和目标方向相反。

 

       3D坐标系之间不一定是等价的。实际上，存在两种完全不同的3D坐标系：左手坐标系和右手坐标系。如果同属于左手坐标系或右手坐标系，则可以通过旋转来重合，否则不可以。

 

         

 

    左手坐标系和右手坐标系没有好坏之分，在不同的研究领域和不同的背景下，人们会选择不同的坐标系。如果运用某种技术结果不对，那么很可能是弄错了坐标系类型。

   ps：以后笔记里使用的都是左手坐标系，也就是左图中的坐标系。（本人刚好是左撇子，嘿嘿—_—!）。

 

   参考文献：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

           （2）百度百科