lesson1-图的概念和图论模型

说明：

图论专题开设的目的主要是作为本学期复习巩固和分享自己对于图论的理解，主要参考的是老师的PPT。应老师要求，不能共享文件，抱歉！

参考书目：
[1] J.A. Bondy, U.S.R. Murty, 吴望名等译《图论及其应用》, 1976
[2]Gary Chartrand《图论导引》,人民邮电出版社，2007
[3]Bela Bollobas,《现代图论》,科学出版社, 2001
[4]Douglas B.West《图论导引》, 机械工业出版社，2007
[5]Chris Godsil, Gordon Royle 《Algebraic Graph Theory》, 世界图书出版公司, 2004
[6] Norman Biggs,《Algebraic Graph Theory》 ,世界图书出版公司, 2014
[7] Robin J. Wilson,《图论导引》5th ed, 世界图书出版公司, 2015
[8] R. Diestel著, 于青林等译《图论》, 高等教育出版社, 2013
[9]王树华等著,《图论算法理论、实现及应用》,北京大学出版社, 2011
[10] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics(具体数学), 2nd ed, 机械工业出版社, 2002.8

一：图论应用目前的情况
1、研究对象
　　图论是研究点与线组成的“图形”问题的一门科学。属于应用数学分支.
2、发展历史
　　图论起源于1736年，标志事件是“哥尼斯堡七桥”问题.
　　数学家欧拉被称为“图论之父”.1936年Kӧnig出版了第一本图论著作.目前，图论已形成很多分支：如化学图论、随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等
3、应用状况
　　计算机科学: 计算机网络(网络设计与优化、Google搜索引擎开发(见吴军《数学之美》) 、组合优化、理论计算机科学等(如一些NP完全问题的证明和近似算法等)
　　化学: 分子稳定性、同分异构体计数、扭结理论 (新西兰数学家Vaughan Jones 获1990年Fields奖)

　　　　　　　　　　　　　　最基本的扭结结构: 左、右三叶结
　　环境保护: 图模型帮助污染物回收和利用
　　物理: 统计物理中Dimer计数问题
　　社会学: 复杂网络研究社会群落的规律(Six Degrees of Separation--small world effect)
　　交通管理: 图算法找寻路径以及优化交通网络(Dijkstra算法)
　　经济学: Alvin E. Roth和Lloyd S. Shapley (1923.6.2-2016.3.12) 创建稳定匹配理论, 并进行设计的实践而获2012年Nobel经济学奖.
　　数学: 自身发展、促进其它数学分支的发展(如代数学、拓扑学)
图论令人着迷的部分原因是有许多有趣且重要的问题(不限于图论学科)可能用简单和基本的图论方法解决, 让人们感受到一些真正成功的前景.
4、近年应用图论解决问题的典型例子
　　(1)葛立恒(曾任AMS主席) 1970 年在《美国数学月刊》上提出下面的问题(另见R.K. Guy, 1916.9- 著《数论中未解决的问题》B.33 节, 中译本第 115 页):

直到 26 年以后,由 Balasubramanian 和Soundararajan 给出完整解决(答案是肯定的), 论文发表在Acta Arithmetica, 长达38页. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7511.pdf

2018 年, B. Bosek 等将上述猜想转化为一个图染色问题并解决(仅5页), Graph coloring and Graham’s greatest common divisor problem, Discrete Mathematics 341(2018) 781-785.
　　(2) 1994年，数学家Noam Nisan和Mario Szegedy提出了敏感度猜想Sensitivity Conjecture. 它是理论计算机科学和芯片设计中近三十年来最重要,最令人困惑的开放性问题之一.

Conj. 存在一个多项式P, 对所有的布尔函数f, 都成立 bs(f)≤P[s(f)].
1 假设x是一个n维数组，其中每个分量都是取值于0或1的布尔数.
2 假设函数f:{0,1}^n-->{0,1},亦即定义域是n维数组，同时每个分量都是布尔数; 取值也是布尔数.
3 翻转x第i个分量的值(就是数组中第i个值如果是0，则变成1;是1,则变成0),得到x_i，如果f(x_i)≠f(x)，就称f对x在第i个分量处敏感.
4 f对x可能在若干分量处都敏感，记敏感分量的数目为s(f,x).
5 当x取遍n维布尔数组后，记s(f,x)的最大值为s(f).
猜想本身用到的是布尔函数的块敏感性.就是上面步骤3里,x_i的角标不再是i, 而是集合A, A本身是{1,2,…,n}的某个子集. 把{1,2,…,n}划分为若干不相交子集,保证f对每个子集都是敏感的.

必然有种方式使子集个数最多,子集个数记为相应的bs(f, x),进一步得到bs(f).

2019年7.1, Emory University计算机与数学科学系黄皓教授(Hao Huang)用一篇仅 6 页的论文证明了困扰理论计算机领域近三十年的猜想(核心证明仅2页, https://arxiv.org/abs/1907.00847).

随之而来的是学界的轰动.
黄皓来自广东汕头(著名数学家丘成桐的故乡)，2007 年本科毕业于北京大学，博士就读于加州大学洛杉矶分校(UCLA), 师从著名数学家 Benny Sudakov. 黄皓于 2012 年获得博士学位,

2012-2014 年受邀访问普林斯顿高等研究院, 现担任美国艾默里大学数学系助理教授. 其主要研究领域包括极值组合、图论及理论计算机.已经在 JCTB、JCTA、Combinatorica、SIAM J. Discrete Math

等国际著名期刊上发表及接受发表论文 20 余篇.
Hao Huang解决猜想的主要方法已有200年历史. 主要涉及:
1. 将Boolean序列转化为n-维超立方图(已有结论).
2. 应用柯西交错定理(Cauchy interlace theorem),该定理将邻接矩阵特征值和子矩阵特征值关联起来, 是代数图论的重要工具.

二、图的定义与图论模型
1、图的定义
一个图是一个序偶<V,E>,记为G=(V,E),其中：(1) V是一个有限的非空集合,称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数;(2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合,称为边集,其元素称为边,

且同一点对在E中可以重复出现多次,用|E|表示边数.图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个实心点或者小圆圈表示，E中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。
例1、设图G＝<V,E>。这里V＝{v1,v2,v3,v4}，E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}，

e1＝v1v2，e2＝v1v3，e3＝v1v4，
e4＝v2v3，e5＝v3v2，e6＝v3v3

图的相关概念：

有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图；

平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图；

空图：边集为空的图称为空图；

n阶图：顶点数为n的图称为n阶图；

(n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图；

边的重数：连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数；重数大于1的边称为重边；
环(loop)：端点重合为一点的边称为环；

简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为复合图；

顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为该边的两个端点；
顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点；

边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；

2、图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学模型。
(1) 化学中的图论模型
19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢化合物
用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间的化学键。通过这样的建模，能很好研究简单烃的同分异构现象.
例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：

(2) 商业中的图论模型
商业中，经常用图来对仓库和零售店进行建模
例如：令V={w1,w2,w3,r1,r2,r3,r4,r5}代表3个仓库和5个零售点，E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个零售店间的关联。则图模型图形为：

(3) 最短航线问题
用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。
例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市}，E={ab, ad, bc , be, de}代表城市间的直达航线，则航线图的图形为：

请求出从d到c的最短路
(4) 任务分配问题

有一个旅行团要组织一批人去旅游，其中一些人是朋友他们要乘坐公共汽车去，而车上的位子是成对的。因此为了让大家旅途更愉快，旅行团负责人需要将成对的朋
友安排在一起。给出一种安排方案。
该问题可以建立一个图论模型来解决：旅行团的人抽象为图的顶点，两个顶点连线，当且仅当两个顶点代表的人是朋友。问题归结于在模型图中求所谓的“匹配”，关于图的匹配
将在后面介绍。
(5) 考试时间安排问题
一个教授需要对期末考试时间进行安排，使得学生们不会有相互冲突的考试。如何解决？
该问题可以建立一个图论模型来解决：待考的课程可抽象为图的顶点，连接两个顶点的边表示至少有一个学生同时选择了这两门课程。问题归结于在模型图中求所谓的“顶点着色方案”问题
例如：有a, b, c ,d, e, f 六门课程。按照上面方法建立的模型图如下：

一种可行的安排方案为：第一时间：a, d, e;第二时间：b, f ；最后：c.
另一种可行的安排方案为：第一时间：a, e;第二时间：c, d ；最后：b, f .
(6) 旅行售货员问题
一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办到？给出行走方案。
该问题可以建立一个图论模型来解决：城市抽象为图的顶点，边代表城市间的直达航线。问题归结为在模型图中寻求所谓的“哈密尔顿圈”问题。
例如：如果模型图如下：

可行方案: (1) h, d, e, c, b, a, h (2) h, d, e, c, a, b, h
三、图的同构
在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个
图的异同，这就是图的同构问题。
定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点
集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2v1↔v2, u1,v1∈V1, u2,v2∈V2; u1v1∈E1,当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：