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摘要： 欧拉函数 \(\phi(n)\) 就是：小于或等于 \(n\) 的正整数中，与 \(n\) 互质的数的个数。 当 \(n=7\) 时（一个质数），\(1,2,3,4,5,6\) 都和 \(7\) 互质，所以 \(\phi(7)=6\)。显然，如果 \(p\) 是一个质数，那么 \(\phi(p)=p 阅读全文

摘要： 韩信点兵 打仗需要清点士兵，但士兵太多了，一个一个数太慢，于是韩信用了个聪明的方法： 让士兵们 \(3\) 人一排站好，结果发现最后剩下 \(2\) 个人。 让他们 \(5\) 人一排，结果剩下 \(3\) 个人。 最后，让他们 \(7\) 人一排，又剩下 \(2\) 个人。 问题：在不一个一个数的 阅读全文

摘要： 乘法逆元 若 \(ax \equiv 1 \pmod {p}\)，则这个 \(x\) 也叫做在模 \(p\) 意义下 \(a\) 的逆元。乘法逆元就是模意义下的除法。 求解乘法逆元的常见方法： 当模数为质数时：使用费马小定理，当 \(p\) 为质数时，\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod 阅读全文

摘要： 求解 \(ax+by = gcd(a,b)\)。 首先，如果有 \(b\) 等于 \(0\)，则 \(x=1, \ y=0\) 为其一组解（辗转相除法最后一层）。 现在要从底往上推 \(x,y\)，设底下一层的 \(x,y\) 为 \(x',y'\)。 根据辗转相除法，设 \(a'=b, \ b'= 阅读全文

摘要： 裴蜀定理（贝祖定理）：如果 \(a,b\) 是不全为 \(0\) 的整数，一定存在整数 \(x, y\)，满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)。 例如 \(4x+6y=2\)，存在整数解 \(x=-1,y=1\)，而 \(4x+6y=3\) 也就是 \(x=\dfrac{3-6y}{4}\) 阅读全文

摘要： 割边：对于一个无向图，如果删掉其中某条边后图中的连通块个数增加了，则称这条边为割边或桥。 割边的判定：对于 DFS 树中的节点 \(u\) 与其子节点 \(v\)，满足 \(low_v > dfn_u\)，则说明边 \(u \leftrightarrow v\) 是割边，因为这种情况下从 \(v\) 阅读全文

摘要： 割点：对于一个无向图，如果删除某个节点后，连通块个数增加了，则该点为割点（也称割顶）。 割点的判定： 对于 DFS 树中的非根节点 \(u\)，当至少存在一个子节点 \(v\)，满足 \(low_v \ge dfn_u\) 时，\(u\) 为割点。 对于 DFS 树的根节点 \(u\)，当其存在至少 阅读全文

摘要： int dfn[N], low[N], scc[N], tot, cnt; bool ins[N]; stack<int> s; void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++tot; s.push(u); ins[u] = true; for (int v : 阅读全文

摘要： 矩阵 不严谨地讲，可以把一个存储数的二维数组当成一个矩阵。 矩阵加法：计算矩阵 \(C = A + B\)，每个 $c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j} $，需要 \(A\) 矩阵和 \(B\) 矩阵行列数对应相等才能加。 矩阵数乘：计算矩阵 \(C=kA\) 或 \(C=Ak\) 阅读全文

摘要： 排列组合 排列数：\(A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}\) 组合数：\(C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\) 组合数与杨辉三 阅读全文