三分

单峰函数求极值。

取两个三等分点，如果是求极大值，那么较小的那端调整。

如果求极小值，那么较大的那端调整。

类似于爬坡过程，让离极值更远的一端爬到三等分点。

例题：P3382 三分

参考代码

#include <cstdio>
const int N = 15;
const double EPS = 1e-6;
int n;
double a[N];
double calc(double x) {
    double res = 0;
    for (int i = n; i >= 0; i--) {
        res = res * x + a[i];
    }
    return res;
}
int main()
{
    double l, r; scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for (int i = n; i >= 0; i--) scanf("%lf", &a[i]);
    while (r - l > EPS) {
        double k = (r - l) / 3;
        double mid1 = l + k, mid2 = r - k;
        if (calc(mid1) > calc(mid2)) r = mid2;
        else l = mid1;
    }
    printf("%.5f\n", l);
    return 0;
}

习题：P1883 【模板】三分 | 函数

解题思路

\(F(x)\) 依然是一个单谷函数（高中数学必修 1），可以用三分法。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
const int N = 10005;
int n, a[N], b[N], c[N];
double calc(double x) {
    double res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        double f = a[i] * x * x + b[i] * x + c[i];
        if (i == 1) res = f;
        else if (f > res) res = f;
    }
    return res;
}
void solve() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &a[i], &b[i], &c[i]);
    double l = 0, r = 1000;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        double k = (r - l) / 3;
        double mid1 = l + k, mid2 = r - k;
        if (calc(mid1) > calc(mid2)) l = mid1;
        else r = mid2;
    }
    printf("%.4f\n", calc(l));
}
int main()
{
    int t; scanf("%d", &t);
    for (int i = 1; i <= t; i++) solve();
    return 0;
}