整除理论
整除的基本知识
有 \(12\) 个苹果，恰好平分给 \(x\) 个人（每个人分到的苹果完整且数量相同），\(x\) 能取到哪些值？
分别以 \(1\) 到 \(12\) 假设 \(x\)，发现只有 \(x=1,2,3,4,6,12\) 这 \(6\) 个数字满足，这里用到的就是整除的概念。整数之间的整除性，体现为两个整数相除没有余数，此时两数具有倍数和约数的关系。
设 \(a,b\) 是两个整数，且 \(a \ne 0\)，如果存在另一个整数 \(q\)，使得 \(b=aq\)，那么就说 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a | b\)，且称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 是 \(b\) 的约数。
在 C++ 中，用 a%b==0 来表示 \(b\) 能够整除 \(a\)。
整除有几个常用性质：
- 若 \(a|b\) 且 \(b|c\)，那么 \(a|c\)。
回忆一下直尺上的刻度，每 \(5\) 个 \(1mm\) 小刻度形成一个 \(5mm\) 中刻度，两个 \(5mm\) 中刻度会形成一个 \(1cm\) 大刻度。这蕴涵了 \(10\) 个 \(1mm\) 小刻度形成 \(1cm\) 大刻度。也就是说，已知 \(1|5\) 和 \(5|10\)，可以推出 \(1|10\)。 - 若 \(a|b\) 且 \(a|c\)，那么对于任意的整数 \(x,y\)，有 \(a|bx+cy\)。
对 \(a\) 的倍数任意加减得到的仍然是 \(a\) 的倍数。想象一下一杯饮料 \(10\) 元，那么 \(20\) 元纸币恰好能买两杯，\(50\) 元纸币恰好能买五杯，那么无论多少张 \(20\) 元和 \(50\) 元纸币，都能买到整数杯饮料。甚至，找回来的钱也可以是 \(20\) 元纸币或 \(50\) 元纸币，对应减法。值得注意的是，\(0\) 是任何正整数的倍数。也就是说，\(a|(b-b)\) 也是对的。 - 设整数 \(m \ne 0\)，那么 \(a|b\) 等价于 \(ma | mb\)。
显然将两数放大若干倍，它们之间的整除性不变。
有 \(120\) 个苹果，恰好平分给 \(x\) 个人（每个人分到的苹果完整且数量相同），\(x\) 能取到哪些值？
实质上就是找 \(120\) 的所有约数，但是对于 \(120\)，逐个枚举的计算量很大，但是注意到 \(120\) 的约数是成对出现的，比如 \(1 \times 120 = 120\) 和 \(2 \times 60 = 120\)，其中 \(1,120,2,60\) 全都是 \(120\) 的约数。也就是说，一旦知道较小的因数 \(k\) 就可以求出那个较大的因数 \(\dfrac{120}{k}\)，因为限定了大小，所以 \(k \le \dfrac{120}{k}\)，\(k\) 是整数，可以得出 \(k \le 10 < \sqrt{120} < 11\)，可以发现枚举量急剧减小。
不超过 \(10\) 的 \(120\) 的因数有 \(1,2,3,4,5,6,8,10\)，那么对应的另一个约数就是 \(120,60,40,30,24,20,15,12\)。至此，很快就找出了 \(120\) 的全部约数。
同理，可以尝试应用这种优化过的枚举法寻找 \(n\) 的所有约数：如果 \(k\) 是 \(n\) 的约数，那么 \(n/k\) 也一定是 \(n\) 的约数，只要限定 \(k \le \dfrac{n}{k}\)，即 \(k \le \sqrt{n}\)，就可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间复杂度内找到 \(n\) 的所有约数。
vector<int> vec; // vec用来存储n的所有约数（无序）
int find_divisors(int n) { // 返回值为约数个数
int cnt = 0;
for (int k = 1; k * k <= n; k++) {
// 考虑到k*k有可能溢出，有时写成k<=n/k
if (n % k == 0) {
vec.push_back(k);
if (k != n / k) vec.push_back(n / k);
// 约数成对出现，但要注意k=n/k时可能出现重复
}
}
return cnt;
}
例题：P2926 [USACO08DEC] Patting Heads S
给定 \(n\) 和 \(n\) 个正整数，求每个数是另外多少个数的倍数。\(n \le 10^5\)，数字 \(a_i\) 不超过 \(10^6\)。例如给出 \(5\) 个数，分别是 \(2,1,2,3,4\) 时，答案分别是 \(2,0,2,1,3\)。
分析：如果直接枚举每对数，则时间复杂度为 \(O(n^2)\)，显然不足以通过本题（能够获得 \(47\) 分）。
参考代码 $O(n^2)$
#include <cstdio>
const int N = 1e5 + 5;
int a[N], ans[N];
int main()
{
int n; scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j) continue;
if (a[i] % a[j] == 0) ans[i]++;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
如果从枚举约数的角度思考，会很自然地得到这样一个算法：对于每个数 \(a_i\)，枚举它的所有约数，再看这些约数在 \(n\) 个数中出现了几次（可以在输入时预处理），对它们求和即为答案。这个算法的时间复杂度是 \(O(n \sqrt{A})\)，这里 \(A\) 指的是 \(\max \{ a_i \}\)，比一开始的 \(O(n^2)\) 更优，能够通过本题。
参考代码 $O(n \sqrt { A })$
#include <cstdio>
const int N = 1e5 + 5;
const int A = 1e6 + 5;
int a[N], ans[N], cnt[A];
int main()
{
int n; scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]); cnt[a[i]]++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int ans = 0;
// 枚举a[i]的所有约数
for (int j = 1; j * j <= a[i]; j++) {
if (a[i] % j == 0) {
int d1 = j, d2 = a[i] / j;
ans += cnt[d1];
if (d2 != d1) ans += cnt[d2];
}
}
printf("%d\n", ans - 1); // 减去自己的贡献
}
return 0;
}
本题还可以从枚举倍数的角度思考：对于一个数 \(i\)，如果它在原数组中出现了 \(c_i\) 次，那么 \(i\) 这个数会对它的每一个倍数产生 \(c_i\) 的贡献。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::max;
const int N = 1e5 + 5;
const int A = 1e6 + 5;
int a[N], ans[A], cnt[A];
int main()
{
int n; scanf("%d", &n);
int maxa = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]); cnt[a[i]]++; maxa = max(maxa, a[i]);
}
for (int i = 1; i <= maxa; i++) {
for (int j = i; j <= maxa; j += i) {
ans[j] += cnt[i]; // i 这个数会对 j 产生 cnt[i] 的贡献
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[a[i]] - 1); // 要减掉 a[i] 对自己的贡献
return 0;
}
乍一看有上限到 \(10^6\) 的双重循环，但是实际上有这样一个数学性质：\(\sum \limits_{i=1}^{n} \dfrac{n}{i} \approx n \ln n\)，因此上面这个算法的时间复杂度为 \(O(A \log A)\)，由于换底公式，对数的底数不同可以忽略，不过不同于其他很多算法比如二分，在二分这样的算法中，对数的来源是折半，因此会涉及 $\log_2 $，而本题这种情况下涉及的对数是自然对数 \(\ln\)，这个复杂度俗称为调和级数复杂度。
调和级数复杂度的证明涉及到微积分，目前可以先当成结论记忆。感兴趣可以阅读：调和级数的复杂度。
质数与合数
当寻找 \(2,3,5,7,11,13\) 这些数的约数时，可以发现它们除了 \(1\) 和自身以外没有其他的约数，这类数被称作质数。
设正整数 \(p \ne 0,1\)，如果它除了 \(1\) 和 \(p\) 以外没有其他的约数，那么就称 \(p\) 为质数。若正整数 \(a \ne 0\)，\(1\) 且 \(a\) 不是质数，则称 \(a\) 为合数。
若 \(a\) 为合数，则 \(a\) 能被表示成 \(a=pq\)，其中 \(p,q>1\)。易证 \(p,q\) 中一定有一个不超过 \(\sqrt{a}\)，因为如果 \(p,q\) 都超过 \(\sqrt{a}\)，则会有 \(pq>a\)，矛盾。更严格地，若 \(a\) 为合数，则一定存在质数 \(p|a\)，且 \(p \le \sqrt{a}\)。
计算题：从 \(2\) 至 \(8\) 的 \(7\) 个整数中随机取 \(2\) 个不同的数，这两个数互质的概率为？
答案
从 \(8\) 个数中随机取 \(2\) 个不同的数有 \(C_7^2 = 21\) 种情况，其中互质的情况包括：\(2\) 与 \(3,5,7\)，\(3\) 与 \(4,5,7,8\)，\(4\) 与 \(5,7\)，\(5\) 与 \(6,7,8\)，\(6\) 与 \(7\)，\(7\) 与 \(8\)，因此概率为 \(\dfrac{3+4+2+3+1+1}{21} = \dfrac{2}{3}\)。
例题：P3383 【模板】线性筛素数
给出若干（不超过 \(10^6\)）个正整数 \(k\)，依次输出第 \(k\) 小的素数，素数的范围是 \(10^8\) 以内。
判断一个整数是否为质数有一个时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 的算法：
bool is_prime(int x) { // 判断x是否为质数
for (int i = 2; i * i <= x; i++) { // 枚举不超过sqrt(x)的i
if (x % i == 0) return false;
}
return true;
}
这里之所以枚举到 \(\sqrt{x}\)，就是因为如果 \(x\) 是合数，则一定存在质数 \(p|x\)，且 \(p \le \sqrt{x}\)。
这同时也给出了一个寻找一定范围内所有质数的算法。例如，为了求出不超过 \(100\) 的所有质数，只要把 \(1\) 和不超过 \(100\) 的正合数都删去。
只需要用不超过 \(10\) 的全部质数（\(2,3,5,7\)）找出，然后删去它们在 \(100\) 以内的所有倍数（\(2\) 的倍数，\(3\) 的倍数，\(5\) 的倍数，\(7\) 的倍数），就删去了所有 \(100\) 以内的合数，剩下的就是 \(100\) 以内的质数。
可以看出，没有删去的数是 \(2,3,5,7,\cdots,97\)，共 \(25\) 个质数。从这 \(25\) 个质数出发，还可以找出 \(100 \times 100 = 10000\) 以内的所有质数。这个方法由古希腊数学家埃拉托斯特尼提出，称为埃拉托斯特尼筛，简称埃氏筛。
vector<int> p;
void eratosthenes_sieve(int n) {
// 寻找不超过n的所有质数，数组flag用来做标记，flag[i]==true表示i被标记，是合数
flag[1] = true;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (!flag[i]) { // 如果i未被之前的数所标记说明i是质数
for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
// 实际上也可以直接从i*i开始筛，因为2到i-1的倍数之前已经筛过了
flag[j] = true; // 将i除了自己以外的倍数标记为合数
}
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (!flag[i]) p.push_back(i);
}
埃氏筛的时间复杂度是 \(O(n \ln\ln n)\)。
参考代码
#include <cstdio>
#include <vector>
using std::vector;
const int N = 1e8 + 5;
vector<int> p;
bool flag[N];
void eratosthenes_sieve(int n) {
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (!flag[i]) {
for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
flag[j] = true;
}
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (!flag[i]) p.push_back(i);
}
int main()
{
int n, q; scanf("%d%d", &n, &q);
eratosthenes_sieve(n);
for (int i = 1; i <= q; i++) {
int k; scanf("%d", &k);
printf("%d\n", p[k - 1]);
}
return 0;
}
既然质数的（大于 \(1\) 的）整数倍是合数，那么（大于 \(1\) 的）整数的质数倍数也一定是合数。就像 \(3\) 的 \(4\) 倍 \(12\) 是合数，那么 \(4\) 的 \(3\) 倍也一定是合数。于是可以得到埃氏筛的另外一种形式：
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!flag[i]) { // 如果i没有被筛去
p.push_back(i); // 那么i就是一个质数
}
for (int j : p) { // 枚举当前的所有质数
if (i > n / j) break;
flag[i * j] = true; // i的j倍是合数
}
}
在这个形式中，只有当 \(j \le i\) 时，\(i \times j\) 才会被筛去。为什么这是正确的？考虑 \(j>i\) 的情况，设 \(i\) 的最小质因子是 \(p_i\)，则 \(i \times j\) 会在 \(i' = j \times \dfrac{i}{p_i}, \ j' = p_i\) 的时候被筛去。
在这个基础上，再添加一行代码，就可以得到欧拉筛，一种时间复杂度为 \(O(n)\) 的线性筛。
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!flag[i]) {
p.push_back(i);
}
for (int j : p) {
if (i > n / j) break;
flag[i * j] = true;
if (i % j == 0) break; // 欧拉筛的核心
}
}
为什么增加这一句判断，就可以提前结束循环呢？设 \(n\) 的最小质因子为 \(p_n\)，如 \(p_9 = 3, p_{12} = 2\)。那么在线性筛中，一个合数 \(n\) 会且仅会在 \(i = \dfrac{n}{p_n}\) 的时候被筛去。
首先证明充分性：合数 \(n\) 会在 \(i = \dfrac{n}{p_n}\) 的时候被筛去。显然 \(\dfrac{n}{p_n}\) 是大于等于 \(p_n\) 的，否则 \(\dfrac{n}{p_n}\) 的最小质因子一定比 \(p_n\) 小，且它也是 \(n\) 的一个质因子，那么 \(n\) 的最小质因子就不是 \(p_n\) 了。也就是说，当 \(i = \dfrac{n}{p_n}\) 时，\(p_n\) 一定已经被保存在 p 数组中。同时，如果 \(j\) 还没访问到 \(p_n\) 就已经 break 了，就代表着有一个比 \(p_n\) 更小的某个 \(j\)，它可以整除 \(i\)，也就是 \(i = \dfrac{n}{p_n}\) 的一个质因子，那么这个比 \(p_n\) 更小的质数 \(j\) 也一定是 \(n\) 的一个质因子，这也与 \(p_n\) 是 \(n\) 的最小质因子矛盾了。
然后证明必要性：合数 \(n\) 仅会在 \(i = \dfrac{n}{p_n}\) 的时候被筛去。假设 \(p'\) 是一个大于 \(p_n\) 的 \(n\) 的质因子，那么需要证明的是：当 \(i = \dfrac{n}{p'}\) 的时候，在 \(j\) 枚举到 \(p'\) 之前，第二层循环就已经 break 了。这其实也很简单：因为 \(p'\) 和 \(p_n\) 互质，且同时是 \(n\) 的质因子，所以 \(p_n\) 也一定是 \(\dfrac{n}{p'}\) 的一个质因子。那么当 \(i = \dfrac{n}{p'}\) 时，当 \(j\) 枚举到 \(p_n\) 时，\(j\) 就整除 \(i\) 了，此时第二层循环就会 break，而不会让 \(j\) 再往后枚举到 \(p'\)。
也就是说，对于每一个合数，它只会被 flag[i*j]=true 这条语句标记为合数一次，也就是说这条语句实际上只会被执行不超过 \(n\) 次，那么整个算法的时间复杂度显然就是 \(O(n)\) 了。
参考代码
#include <cstdio>
#include <vector>
using std::vector;
const int N = 1e8 + 5;
vector<int> p;
bool flag[N];
void euler_sieve(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!flag[i]) {
p.push_back(i);
}
for (int j : p) {
if (i > n / j) break;
flag[i * j] = true;
if (i % j == 0) break;
}
}
}
int main()
{
int n, q; scanf("%d%d", &n, &q);
euler_sieve(n);
for (int i = 1; i <= q; i++) {
int k; scanf("%d", &k);
printf("%d\n", p[k - 1]);
}
return 0;
}
完善程序题：
（好运的日期）一个日期可以用 \(x\) 年 \(y\) 月 \(z\) 日来表示。我们称一个日期是好运的，当且仅当 \(xy(w-z+1)\) 为质数，其中 \(w\) 为 \(x\) 年 \(y\) 月的总天数。输入 \(x,y,z\)，判断其对应的日期是否好运。保证 \(x\) 是不超过 \(2024\) 的正整数，\(y\) 是不超过 \(12\) 的正整数，\(x,y,z\) 可以构成一个合法的日期。试补全线性筛法算法，空间限制 512MiB。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXW = ①;
const int days[13] = {0, 31, 0, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
int prime[MAXW], cnt;
bool not_prime[MAXW];
void linear_prime(int n) {
--n;
not_prime[0] = not_prime[1] = true;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (not_prime[i] == false)
prime[++cnt] = i;
for (int j = 1; ②; j++) {
not_prime[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
③;
}
}
}
bool check(int n) {
return ④;
}
int main() {
linear_prime(MAXW);
int x, y, z, w;
cin >> x >> y >> z;
if (y == ⑤)
w = check(x) ? 29 : 28;
else
w = days[y];
if (not_prime[x * y * (w - z + 1)])
cout << "unlucky" << endl;
else
cout << "lucky" << endl;
return 0;
}
①处可以填？
A. 753005 / B. 10000000000 / C. 725041 / D. 2024
②处可以填？
A. j <= cnt / B. i * prime[j] <= n
C. (j <= cnt) && (i * prime[j] <= n) / D. (i <= cnt) && (prime[i] * prime[j] <= n)
③处可以填？
A. not_prime[i] = true / B. return / C. continue / D. break
④处可以填？
A. n % 4 == 0 / B. (n % 400 == 0 || (n % 4 == 0 && n % 100 != 0))
C. (n % 4 == 0 && n % 100 != 0) / D. (n % 100 == 0 || (n % 4 == 0 && n % 100 != 0))
⑤处可以填？
A. 1 / B. 7 / C. 8 / D. 2
答案
答案：ACDBD
例题：P1835 素数密度
询问 \([L,R] \ (L \le R \lt 2^{31}, \ R-L \le 10^6)\) 之间的质数个数。
分析：乍一看这题的数据范围非常大，只有 \(R-L\) 的范围比较正常。虽然 \(L,R\) 可以很大，但理论上只要利用不超过 \(\sqrt{2147483647} \le 50000\) 的质数就可以筛除题目范围内的所有合数。
事实上，再联系到 \(R-L \le 10^6\) 和筛法的流程，一个区间筛的算法大致成型：预先求出 \(50000\) 以内的所有质数（实际上不到 \(6000\) 个），再利用每个质数将 \([L,R]\) 范围内该质数的倍数（不包括自己）筛除。最后统计一下没被筛除的就是质数了。
因为只需要利用 \([L,R]\) 的数，所以代码中可以将这段区间平移到 \([0,R-L]\)，从而节省空间。
参考代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using ll = long long;
using std::max;
const int N = 1e6 + 5;
const int BOUND = 50000;
bool isprime[N]; // isprime[x]表示x是否为素数
bool ans[N]; // ans[x]表示l+x是否为素数
void init() {
for (int i = 2; i <= BOUND; i++) isprime[i] = true;
for (int i = 2; i * i <= BOUND; i++) {
if (isprime[i]) {
for (int j = i * i; j <= BOUND; j += i) {
isprime[j] = false;
}
}
}
}
int main()
{
init();
int l, r; scanf("%d%d", &l, &r);
if (l == 1) l = 2; // 1不是素数，靠筛法筛不到1
for (int i = 0; i <= r - l; i++) ans[i] = true;
for (int i = 2; i <= BOUND; i++) {
if (isprime[i]) {
for (ll j = 1ll * i * max((l - 1) / i + 1, 2); j <= r; j += i) {
// j的初始值是为了找到[l,r]范围内开始筛的第一个数字
ans[j - l] = false;
}
}
}
int cnt = 0;
for (int i = 0; i <= r - l; i++) if (ans[i]) cnt++;
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
