使用Memoization优化递归算法

空闲时在LeetCode上练练算法题,一般来说,很多题目最容易想到的就是递归算法。递归算法不仅容易想到和实现,而且写出来也是形式简单、容易理解的。

比如著名的“斐波那契数列”:

1,1,2,3,5,8...

数列的前两项都是1,后面的每一项都等于前两项之和,如何计算第n项?

用递归算法只需要如下两行代码

    public static int fibonacci(int n){
        if(n <= 2) return 1;
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }

调用这个方法,传入一个数字比如6,计算结果是8,看起来没问题。然而有一个很严重的缺陷,就是计算很慢,传入一个稍大的数字比如45,计算结果如下:

1134903170
time 2624

在我的CPU i7的电脑上需要耗时2624毫秒!
为什么这么简单的计算需要这么久?
因为递归中包含了大量的重复计算。
分析一下:计算n=45时,会计算n=44和n=43;计算n=44时,会计算n=43和n=42;计算n=43时,会计算n=42和n=41。可以看到,n<44时都会重复计算,n越小,重复计算的次数越多,最终导致计算次数指数级增长。

那么有什么方法优化吗?不能因为一个缺点就将递归算法否定啊。当然是有的,上面不是分析到n<44时都会重复计算吗?那么第一次计算完后将值记下来,下次要算的时候直接取不就行了?

    public static int fibonacci(int n){
        int[] memo = new int[n + 1];
        return fibonacci(n, memo);
    }
    
    public static int fibonacci(int n, int[] memo){
        if(n <= 2) return 1;
        if(memo[n] > 0) return memo[n];
        memo[n] = fibonacci(n - 1, memo) + fibonacci(n - 2, memo);
        return memo[n];
    }

int[] memo数组就是用来保存计算结果的。这样优化后计算结果如下:

1134903170
time 0

可以看到,几乎不花时间了。因为原来的几百万次计算已经减少为几十次了,性能提升了几万倍。

这就是使用Memoization优化递归算法,通俗地说就是给递归增加记忆,本质上是用空间换时间。这么做是十分有必要的,大部分题用递归算法解都很容易遇到TLE(Time Limit Exceeded),即超出时间限制。而经过Memoization优化后,一般都会AC(Accepted)通过,甚至达到与DP(Dynamic Programming)等优秀的算法相同的性能。

posted @   rome753  阅读(84)  评论(0编辑  收藏  举报
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