Uva10791 唯一分解定理模板

唯一分解定理：

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Uva10791

题意：

输入整数n，要求至少两个正整数，使得他们的最小公倍数为n，且这些整数的和最小

 

解法：

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候

为了方便我们以两个数来说明问题。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

 

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子

例如24=2*2*2*3 ， 只能分解为8和3，因为这里有3个2，这3个2必须在一起，如果分开了这3个2，这出现有两个数会有一个公共的质因子2，并且会使这两个数的LCM不是24

再例如72=2*2*2*3*3，只能分为8和9，因为3个2和2个3都不能分开，他们必须在一次

所以，我们将一个数n分解为质因子后，顺便做一个处理，在除干净一个质因子的同时，将他们乘起来作为一个因子，处理完后会得到多个因子，他们之间同样满足两两互质的性质

然后是进一步的分析

例如264600=8*27*25*49  ， 只是由3个2,3个3,2个5,2个7，处理后得到的因子，那么8,27，25,49的LCM是264600，并且两两互质，他们还要不要处理呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？可以将8,27,25,49这些数字乘起来，无论怎样乘都好，最后得到的数字它们的LCM依然是n，但是乘起来再相加显然比直接相加要大得多！

 

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n

/*
  唯一分解定理的应用，work_quality_factor就是分解质因数的板子
  将一个数分解质因数，将他们所有相同的因子乘起来作为一个新的因子，最后的和就是这些因子和
*/
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100;
ll fac[maxn], frq[maxn];

ll poww(ll a, ll b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
            ans *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll work_quality_factor(ll n, ll quality_fac[], ll frequency[])
{//n是待分解的数,quality_fac[]会存放它包含的质因子,而frequency[]存放对应次数
 //如q_f[k]=7,fre[k]=2就表示质因数分解后里面包含有7,且次数是2
 //函数返回有几种质因子,比如分解了25就返回1,分解28返回2
    ll res, temp, i;
    res = 0;
    temp = n;
    for (i = 2; i*i <= temp; i++)
        if (temp%i == 0)
        {
            quality_fac[res] = i;
            frequency[res] = 0;
            while (temp%i == 0)
            {
                temp = temp / i;
                frequency[res]++;
            }
            res++;
        }
    if (temp > 1)
    {
        quality_fac[res] = temp;
        frequency[res++] = 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll n; int kase = 1;
    while (scanf("%lld", &n) && n) {
        ll num = work_quality_factor(n, fac, frq);
        ll ans = 0;
        if (num == 0 || num == 1) ans = n + 1;
        else {
            for (int i = 0; i < num; i++) {
                ans += poww(fac[i], frq[i]);
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n", kase++, ans);
    }
    return 0;
}