算法导论： 第9章

9.1-1 同时找出最小值和次小值

比较过程同足球比赛淘汰赛阶段一样，两两比较，构成一个比较树。次小值只会出现在哪些跟最小值比较过的元素中，这些元素总共有的数目跟树高一样，为[lgn]。

所以，总共花费(n-1) + ([lgn]-1)

9.3-6 k分位数

先找第(k-1)/2个分位数，然后将数组分成两部分，在前一部分找(k-1)/2前的那些中位数，在后一部分找(k-1)/2后的那些中位数，则有T(k) = 2*T(k/2) + O(n)。每一层的代价均为O(n)，总共有lgk层。即为O(nlgk)

9.3-7 最接近中位数的k个数

step1：求出数组S的中位数的值：O(n)

step2：计算数组每个数与中位数差的绝对值，存于另一个数组B中：O(n)

step3：求出数组B中第k小的数ret：O(n)

step4：计算数组S中与ret差的绝对值小于ret的数并输出：O(n)

9.3-8 两个排序数组的中位数

(1)找个数组X、Y的中位数x1,y1：O(1)

(2)如果它们相等，这就是要找的中位数。

(3)如果x1 < y1，则递归，在X中比x1大的b部分和Y中比y1小的c部分中找。

(4)如果x1 > y1，则递归，在X中比x1小的a部分和Y中比y1大的d部分中找。

X：[a部分]x1[b部分]

Y：[c部分]y1[d部分]

9-2 带权中位数

b) 使用最坏情况时间为O(nlgn)的排序算法对每个元素进行排序

然后，依次累加元素的权重，直到满足题目中公式。

c)step1：利用SELECT中寻找中位数的算法，找到中位数

step2：用中位数把数组分为三段，即A[1..q-1] < A[q] < A[q+1..r]

step3：计算A[1..q-1]和A[q+1..r]的权值和，看是否满足题目中的公式。

step4：若满足，A[q]就是所求的数。

step5：若不满足，就递归使用本算法进行查找。哪一半的权值和比0.5大，就在哪一半中找。

e)记f(x,y) = Sum{wi*(|x-xi| + |y-yi|)}，即要最小化f(x,y)。

由于f(x,y) = Sum{wi*(|x-xi| + |y-yi|)}

              = Sum{wi*|x-xi|} + Sum{wi*|y-yi|}

              = g(x) + h(y)

所以有min{f(x,y)} = min_x,y{g(x) + h(y)} = min_x{min_y{g(x) + h(y)}} = min_x{g(x) + min_y{h(y)}} = min_x{g(x)} + min_y{h(y)}

即分别解决两个一维带权中位数问题即可。