Exponential Coordinate: 旋转

在Exponential Coordinate下，旋转可以用一个旋转轴和一个旋转角度来表示．在下图中，$p(0)$绕固定旋转轴$w$旋转了角度$\theta$:

假定\(||w||=1\).一个旋转是\(p(0)\)绕着\(w\)从时刻\(t=0\)到时刻\(t=\theta\)以１rad/sec的速率旋转.　\(p(t)\)表示路径，\(\dot{p}\)表示线速度,则有：

\[\dot{p}=w\times p　 \tag{1} \]

let φ be the angle between p(t) and ω. Observe that p
traces a circle of radius \(||p||sin\theta\) about the ω-axis. Then ṗ = ω × p is tangent to the path with magnitude \(||p||sin\theta\)

另一种表达两个向量叉乘的表示方法,\(w\in R^3\):

\[[w]=\begin{bmatrix} 0&-w_3&w_2\\ w_3&0&-w_1\\ -w_2&w_1&0 \end{bmatrix}\]

上述矩阵称之为skew-symmetric，即\([w]=-[w]^T\), 他具有的两个性质：

1. \(x\times y=[x]y\)
2. \([x\times y]=[x][y]-[y][x]\)
3. \(R[w]R^T=[Rw]\)
   证明：
   \[\begin{align*} R[w]R^T&=\begin{bmatrix} {r_1}^T(w\times r_1) &{r_1}^T(w\times r_2) &{r_1}^T(w\times r_3)\\ \]

{r_3}^T(w\times r_1) &{r_3}^T(w\times r_2) &{r_3}^T(w\times r_3)\
\end{bmatrix}\
&=\begin{bmatrix}
0 &-{r_3}^Tw &-{r_2}^Tw\
{r_3}^T w &0 &-{r_1}^Tw\
-{r_2}^Tw &{r_1}^Tw &0
\end{bmatrix}\
&=[Rw]
\end{align*}$$
第二行推导使用了3x3矩阵行列式的性质：　\(M\)是3x3的矩阵，列向量\(\{a,b,c\}\), 则有：

\[det M=a^T(b\times c)=c^T(a\times b)=b^T(c\times a) \]

根据以上性质，（１）式可以写为:

\[\dot p=[w]p \]

因此：

\[p(t)=e^{[w]t}p(0)\tag{2} \]

因为假设\(p(t)\)以1 rad/sec的速率旋转．在t秒之后，p(t)旋转了t radians, 所以（２）式也可以写为：

\[p(\theta)=e^{[w]\theta}p(0) \]

根据上篇提到的Cayley-Hamilton公式，有：

\[p(s)=det(Is-[w])=s^3+s \]

\[[w]^3+[w]=0 \]

所以有：
$$[w]^3=-[w]$$

从而：

\[\begin{align*}e^{[w]\theta}&=I+[w]\theta +[w]^2\frac{\theta ^2}{2!}+[w]^3\frac{\theta ^3}{3!}+...\\ &=I+(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...)[w]+(\frac{\theta^2}{2!}-\frac{\theta^4}{4!}+\frac{\theta^6}{6!}-...)[w]^2\\ &=I+sin\theta [w]+(1-cos\theta )[w]^2\end{align*}\]

e^{[w]\theta}即是Exponential Coordinate下的旋转坐标表示．