Exponential Coordinate:线性差分方程及性质 Cayley-Hamilton

Exponetial Coordinate使用一个旋转轴（用单位长度的$w$向量表示）和一个关于该轴的一个旋转角度$\theta$表示。$r=w\theta\in R^3$，其中$r$是三元向量，因此是三元素的旋转表示方法。

简单的线性差分方程##

初始条件： \(\dot{x}(t)=ax(t) \qquad x(0)=x_0\), 其中：

\[e^{at}=1+at+\frac{(at)^2}{2!}+\frac{(at)^2}{3!}+... \]

从而有：

\[x(t)=e^{at}x_0 \]

现在扩展到矩阵形式: \(\dot{x}(t)=Ax(t),x(t)\in R^{n},A\in R^{n\times n},x(0)=x_0\),其中：

\[e^{At}=1+At+\frac{(At)^2}{2!}+\frac{(At)^2}{3!}+...$$,从而： $$x(t)=e^{At}x_0\]

Note: \(\dot{x}(t)=Ae^{At}x_0=e^{At}Ax_0\). 一般来说，矩阵乘法不满足交换率，即\(AB!=BA\)， 但是有\(e^{At}A=Ae^{At}\)

$e^{At}$展开式有无穷多项，不利于我们的计算，所以构造下面的式子来解：

如果$A=PDP^{-1}$,则有： $$ \begin{align*} e^{At}&=I+At+\frac{(At)^{2}}{2!}+...\\ &=I+(PDP^{-1})t+(PDP^{-1})(PDP^{-1})\frac{t^{2}}{2!}+... \\ &=P(I+Dt+\frac{(Dt)^{2}}{2!}+...)P^{-1} \\ &=Pe^{Dt}P^{-1} \end{align*} $$ 如果D是对角阵，$D=diag\{d_1,d_2,...,d_n\}$, 那它的指数式表达如下： $$e^{Dt}=\begin{bmatrix} e^{d_1t}&0&\cdots&0\\ 0&e^{d_2t}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&e^{d_nt} \end{bmatrix}$$ 综上所述，$e^{At}$有如下的性质： 1.$\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A$ 2.如果$A=PDP^{-1}$,则有$e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$ 3.如果$AB=BA$,则有$e^Ae^B=e^{A+B}$ 4.$(e^{A})^{-1}=e^{-A}$ ##Cayley-Hamilton方程## $A\in R^{nxn}$是常量，特征多项式： $$p(s)=det(Is-A)=s^n+c_{n-1}s^{n-1}+...+c_1s+c_0$$ 所以有：　$$p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+...+c_1A+c_0I=0$$

\(p(s)=0\)的根是矩阵s的特征值