树状数组 - 2352 Stars

题目地址: http://poj.org/problem?id=2352

分析:

　　- 题意分析:  有n个星星, 它的左下方(x和y不超过它)的星星的数目就是它的level, 分别计算level 为 0 到 n-1 的星星的数目. 输入是先按照 y 从小到大排序, 如果y相同,就按照x递增排序, 不会有2个以上星星占同一个坐标.

　　- 数据结构

　　　　- 用原始数据数组 a 表示同一个x坐标的星星数目. (a[i]为x坐标为 i-1的星星数目).  注意输入数据时排序的.

　　　　- 树状数组s维护a的信息. 

　　　　- level: level[i] 记录 level为i的星星的数目.

　　- 计算

　　　　- 树状数组构建: 由于输入是先按照y排序, 再按照x排序的, 所以不用数组a来构建(最开始a为全0, s也为全0), 而是直接根据输入从无到有更新.

　　　　- 计算level: sumn(int x) 计算了x坐标不大于x的星星的个数, 而按照输入, 计算的时候y值大于当前星星的星星还没有被输入. 所以这个数目就是当前星星的level, 而后面输入的y值不会比这个小, 所以后面的输入, 对当前星星的level不会有改变.

#include <iostream> 
#include <cstring>
using namespace std;  
  
#define MAX_INDEX_RANGE 32010 // index is from 1.

// 原始数据数组是隐藏的, a[i] 表示x坐标为i的星星数目.
// s 为维护a数组的树状数组.下标从1 开始. 
int s[MAX_INDEX_RANGE];
// level[i] 表示level为i的星星的数目.
int level[MAX_INDEX_RANGE];

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

// 计算x坐标不超过x的星星的总数. 由于是树状数组是动态构建的, 按照输入顺序, y值大于当前星星的还没有被输入, 所以这个数目就是位于当前星星左下方的数目.
int sumn(int x){
    int sum = 0;
    while(x > 0){
        sum += s[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

//N: 总的星星的实际数目.
void modify(int n,int delta,int N){
    // 注意: s[i]的范围是星星坐标的最大值, 因为原始数据数组a表示的是x坐标.
    while(n <= MAX_INDEX_RANGE){ 
        s[n] += delta;
        n += lowbit(n);
    }
}

int main(){
    int N,x,y,i;
    while(cin>>N){
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(level,0,sizeof(level));
        for(i=0;i<N;++i){
            cin>>x>>y;
            x++; // 因为树状数组坐标从1开始.
            level[sumn(x)]++;
            modify(x,1,N);
        }
        for(i=0;i<N;++i){
            cout<<level[i]<<endl;
        }
    }
    return 0;  
}

 总结:

　　- 题目中关键在于找出一维数组a[i]来记录x坐标为 i 的星星的数目. 根据分析, 要求出某个星星左下方的星星数目, 只需求出当前(在它坐标输入的时候)x坐标小于它的星星的数目即可, 也就是要随时查询 x坐标小于等于它的x坐标的星星数目的和. 正好可以用树状数组的统计功能对当前的a[]进行统计. 

　　- 树状数组 s 作为一种数据结构比较抽象,没有实际的意义, 仅仅是方便对原始数据数组进行统计和维护. 

　　- 树状数组可以用作原始数据数组, 因为s[i]一定包含a[i], 要求a[i] 只需通过计算即可算出来 sumn(i) - sumn(i-1).