一个有意思的数列极限
我们先来看这样一个序列：
f(x,n): f(x,1) = x; f(x,2) = xx; f(x,n)=x...(n个)x ;
很容易的，我们可以计算f(2,2) = 22=4;f(2,5)=22^(2^4)=22^16 =265536约=2.00352993*1019728；想必到这里，大家已经明白这个数列当x不太大的时候(譬如仅仅为2)，趋向无穷的速度已经是惊人到无法想象。怎么个无法想象呢，让我们以基本的科学记数法为例来说说明，众所周知，科学记数法天生就是为了表示大数的。比如可观测宇宙(以地球为中心，大约100亿至200亿光年的球体)中含有大约数千亿个星系，每个星系平均含有千亿颗恒星(行星数就不得而知了)，包括动辄以光年计算尺度的星云和弥漫宇宙空间的星际尘埃，我们想问的就是可观测的宇宙物质中的原子数是个什么量级呢？天文学家给我们的答案是可观测宇宙的质量大约是1053千克，折合成质子数是1080量级，我们的f(2,5)已经远远远远远远超过这个数字了。换句话说，如果我们想用科学计数法表示f(2,6),注意，仅仅是表示出来，那么我们用上可观测的全宇宙的质子、中子数（每个粒子表示一位）都办不到。
到这里，以人类的想象力，我们只能肤浅的想象f(2,6)有多大，对于x>2,n>6,我们实在是没有能力想象有多大了。
那么请大家猜猜f(1.9,n)，随着n的增大，会怎么样呢？没错，很快趋近无穷。我们可以写个简单的MATLAB函数验证这个f(x,n)：
function f = test(x,n)
f = 1;
for k = 1:n
f = x^f;
end
f(1.9,5) = 2.258794402547081*1078
现在再请大家猜猜f(1.4,n)，随着n的增大，会怎么样呢？我想看到这里的朋友，如果不实际编程算的话，十有八九会猜测是趋近无穷。
如果我现在说无论n多大，f(1.4,n)不会超过3，进一步的，不会比e大，有多少朋友直观上觉得是对的呢？心存疑问的朋友可以编程算一下。结果是不是出乎我们的意料？
显而易见，f(1,n)是收敛到1的，f(2,n)是发散到无穷的。我们能否找到f(x,n)收敛的最大的x呢？f(x,n)如果收敛的话，最大可能是多少呢？这个问题估计已经被研究过，但是我实在没找到相关资料，这里给出我自己想的证明：
1 假设f(x,n)收敛,不妨记为a。(由f(1,n)收敛知，a肯定是存在的)
2 根据f(x,n)的表达式,我们有x^a = a，进而有
3 x = a^(1/a);
4 f(x,n)能够收敛的x的最大值不会超过 a^(1/a)的最大值。
5 我们对 a^(1/a)关于a求导数得到：
6 a^(1/a - 1)/a - (a^(1/a)*log(a))/a^2
7 令其等于0，解得a = e的时候a^(1/a)最大。
8 也就是说x>e^(1/e)时f(x,n)必然发散。
9 下面需要证明的是收敛的a值不会大于e.
10 由上面知，a = e的时候，相应的x(记为xe以防混淆)xe = e^(1/e)
11 假设存在收敛到的某值a>e,则相应的xa = a^(1/a)<xe
12 由f(x,n)的表达式，有f(xa,n)<f(xe,n),与假设矛盾.故命题得证。
因此，0<x<=e^(1/e)=1.444667861009766...时收敛，且当x等于e^(1/e)时f(x,n)收敛到所有收敛情形的最大值——e。
