一篇文章弄懂时间复杂度

写在前面

关于时间复杂度从学习数据结构开始就已经接触到，但是一直没有完全弄明白。
时间复杂度贯穿着数据结构和算法的学习过程，不论是算法竞赛还是面试题目都会遇到关于时间复杂度相关的内容

正文

基本操作执行次数

关于代码的基本操作执行次数，我们用四个生活中的场景，来做一下比喻：

场景1：给小灰一条长10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？
答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T（n） = 3n。

场景2：给小灰一条长16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

这个问题翻译一下，就是数字16不断地除以2，除几次以后的结果等于1？这里要涉及到数学当中的对数，以2位底，16的对数，可以简写为log16。

因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

需要 5 X logn = 5logn天，记作 T（n） = 5logn。

场景3：给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿，小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？
答案自然是2天。因为只说是吃掉鸡腿，和10寸的面包没有关系 。

如果面包的长度是 N 寸呢？

无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是2天，记作 T（n） = 2。

场景4：给小灰一条长10寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？

答案是从1累加到10的总和，也就是55天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

记作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所讲的是吃东西所花费的相对时间，这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。刚才的四个场景，分别对应了程序中最常见的四种执行方式：

场景1：T（n） = 3n，执行次数是线性的。

void eat1(int n){
    for(int i=0; i<n; i++){;
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("等待一天");
        System.out.println("吃一寸面包");
    }
}

场景2：T（n） = 5logn，执行次数是对数的。

void eat2(int n){
   for(int i=1; i<n; i*=2){
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("吃一半面包");
   }
}

场景3：T（n） = 2，执行次数是常量的。

void eat3(int n){
   System.out.println("等待一天");
   System.out.println("吃一个鸡腿");
}

场景4：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，执行次数是一个多项式。

void eat4(int n){
   for(int i=0; i<n; i++){
       for(int j=0; j<i; j++){
           System.out.println("等待一天");
       }
       System.out.println("吃一寸面包");
   }
}