傅里叶变换2.系统属性和卷积公式的推导
本文主要介绍系统属性以及推导出时不变系统的卷积公式。
1.系统的概念
一个系统简而言之就是，接受输入，产生输出。
人的眼睛接受光信号，在大脑中产生化学信号(使得我们能够看到外界)就是一种系统。系统的范围很广阔，可以说万物皆系统。
连续时间系统t的取值为所有实数用圆括号()表示, 离散时间系统的取值为所有整数用方括号[]表示。
2.系统属性
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无记忆系统(memoryless), 就是输出y[n]只取决相同时间点x[n]的输入,例如y[n] = 2*x[n]^2,
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有记忆系统(memory)， 输出不仅取决于同时刻的输入值，也取决于过去的值。例如y[n] = x[n] + x[n - 1]
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因果性(casual),即不可预测未来，当前输出的值y[n]只取决于当前或之前的输入，比如y[n] = x[n] + x[n-1]。同时，无记忆系统和有记忆系统都是因果性系统。
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时不变(time invariance)，系统的性质不会随着时间发生变化。一个时变系统是人眼，十年前你看到的一束光和现在你看到的一束光感受是不一样的，你的眼睛在老化，你感觉到的光的强度可能因为老化而变得模糊。一个系统当输入为x[n]的输出是y[n]，当输入为x[n-n0]的时候,输出是y[n-n0]，这样子的系统就是时不变系统。(x[n - n0] 是x[n] 的信号延迟(delay) n0个单位后的序列)
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线性(linearity), 当输入为x1[n],输出为y1[n]。输入为x2[n]，输出为y2[n]。则若输入为a*x1[n] + b*x2[n] ，输出满足a*y1[n] + b*y2[n]的系统称为线性系统。
3.卷积推导
在信号分析中，我们常常会把一个信号分解成许多我们熟悉的信号，比如δ[n]和e^(iwt)。
对于离散系统，假设我们的输入的x[n]如下.
则我们可以把这个信号分解成多个冲激函数δ[n]之和.
由上图知输入信号x[n] = x[0]δ[n] + x[1]δ[n-1] + x[-1]δ[n+1] 。
自然而然我们可以想到，用这种分解的方式表示所有的信号。
现在假设我们的δ[n-k]经过系统后的响应是h_k[n].
如果此系统是线性系统的话，我们利用线性系统的的性质，如下。
则x[n] 输入系统后的输出y[n]
如果此系统恰好又是时不变系统的话.我们利用时不变系统的性质
我们把第3个式子带入第1个式子，得到如下式子。其中 ∗代表卷积(convolve)符号
从刚刚的推导我们知道，对于线性时不变系统来说，只要知道冲击响应h[n]，对于任何的输入我们都可以知道输出(输入δ[n]后就能得到h[n])。所以h[n]描绘了一个系统的全貌，我们常用h[n]来代表一个系统,如下。
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