傅里叶变换1.基本函数

在信号与系统分析中，有两类函数特别重要,可以称之为构建傅里叶变化的基石(BuildingBlocks).本文主要讨论着这两类函数以及一些后续课程需要的知识

1.第一类函数是三角函数信号(Sinusoidal Signals)

x(t)=Acos(ωt+θ).

x(t)=Acos(ωt+θ)

 

ω称之为角频率，含义是一秒转过多少弧度值(radians per second).

分析:令t=0得到Acos(ωt+θ) = Acos(θ), 令t=1 得到Acos(ωt+θ) = Acos(ω+θ). 所以在t=0到t=1的这1秒时间中，Acos(x)的弧度差为(ω+θ) - θ = w. 所以ω代表1秒转过弧度. 

 

f称为频率(frequency), f=ω/2π. f与ω的不同在于，f描述的是1秒转过多少圈(units of cycles per second),而ω描述的是一秒转过多少弧度.从下图可以知道,当ω从x轴迎着逆时针转过2π弧度，实际转过的圈数为1圈.

2.第二类函数是幂函数(Exponential Signals)

 

其中的 i 是虚数，引入了虚数，我们的坐标系从实数域变成了复数(complex number)域， 虚数(imaginery number)的定义是i² = - 1.在现实生活中，一个数的平方不可能为负1，所以虚数是一个自然界不存在的数字.但是通过引入虚数这个概念，可以使我们数学的计算带来方便。 

由欧拉公式(Euler Formula)可以画出如下的复数图.

 

分析：可见e^(iθ)是一个复数,实数部分为cos(θ), 虚数部分为sin(θ).

对于欧拉公式的理解与推导：

根据 e^x 在0点的泰勒公式展开(泰勒公式就是对一个函数的模拟，泰勒公式的阶数越高即n越大，函数被还原的越准确)

根据cos(x) 在0点的泰勒公式,以及sin(x)在0点的泰勒展开

对比（1）和（2）我们发现e^(ix) = cos(x) + isin(x)，从此与欧拉公式风雨同路

另外f(x) = e^(ix) 是一个以2pi为周期的函数

3.基本信号(Exponential Signals)

3.1连续时间阶跃信号

连续时间的阶跃信号(unit step)的定义如下：

 

 3.2连续时间的冲激信号

连续时间的冲激信号(unit impluse)δ(t)的定义如下：

δ(t)可以看作是如下函数r(t)的在T->趋向于0时候的导数

 

 

 

  3.3 离散时间阶跃信号

 离散时间阶跃信号u[n]的定义如下：

 

 3.4 离散时间冲激信号

离散时间冲激信号δ[n]的定义如下:

 

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