CF 1806 C Sequence Master

题意简述

令全集 \(U=\{1,2,3,\dots,2m\}\)。

一个序列 \(Q\) 是好的，当且仅当 \(\forall (S\subseteq U,s.t.\ |S|=m),\prod \limits_{i\in S}{Q_i}=\sum \limits_{j\in(\complement_US)} Q_j\)

定义两个长度为 \(k\) 的序列 \(A\) 和 \(B\) 的距离是 \(\sum\limits_{i=1}^k{|A_i-B_i|}\)。

给定长度为 \(2n\) 的序列 \(P\)，请找出与 \(P\) 距离最小的好的序列 \(Q\)，输出它们的距离。

解题思路

思考怎样一个序列满足它是好的。

显然，当 \(n=1\) 时，\((x,x),s.t.\ x\in \mathbb{Z}\) 都是可以的。因此我们只用考虑 \(n\geq2\) 的情况。

不妨先讨论 \(n=2\) 时的答案。它应当满足四元轮换对称方程组：

\[\left \{ \begin{aligned} ab=c+d\\ ac=b+d\\ ad=b+c\\ bc=a+d\\ bd=a+c\\ cd=a+b\\ \end{aligned} \right. \tag{1.1} \]

它的必要条件显然是：

\[ab=c+d,cd=a+b \tag{1.2} \]

式子 \((1.2)\) 的必要条件又是（就是把两式相加）：

\[a+b+ab=c+d+cd\iff (a+1)(b+1)=(c+1)(d+1)\tag{1.3} \]

由轮换性质可得：

\[|a+1|=|b+1|=|c+1|=|d+1|\tag{1.4} \]

或：

\[\sum[a=-1]\geq3\tag{1.5} \]

式子 \((1.5)\) 就是说四个未知数中有三个都是 \(-1\)，此时 \((1.3)\) 等式两边都是 \(0\)。

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先讨论式子 \((1.4)\)。设 \(x\)，显然四个数要么是 \(x\)，要么是 \(-x-2\)。

若同时存在 \(-x-2\) 和 \(x\)：

1. 当 \(x=-1\) 时，\(a=b=c=d=-1\)，带回原式，不成立。

2. 当 \(x\neq-1\) 时，四个数的正负不尽相同。不妨令 \(x\geq0\),那么 \(-x-2\leq-2<0\)。

   1. 若有一个数为负，不妨令 \(a\) 为负，那么式子 \(ab=c+d\) 一定不成立（左负右非负）。

   2. 若有两个，不妨令 \(a,b\) 为负，那么式子 \(cd=a+b\) 一定不成立（左非负右负）。

   3. 若有三个，不妨令 \(a,b,c\) 为负，那么:

      \[ab=c+d\iff (-x-2)^2=-2 \]

      无解。

因此，仅存在 \(a=b=c=d=x\) 的情况。

可得方程：

\[x^2=2x \]

解得 \(x=0\text{ 或 }2\)。带回原方程，发现都成立。

再来看式子 \((1.5)\)，发现很好解：\(x=2\)。即 \(a=2,b=c=d=-1\) 是一组解，带回原方程组，可行。

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推广一下，至 \(n\geq2\)。当 \(n>2\) 时，情况只会比 \(n=2\) 时更苛刻，不会存在比 \(n=2\) 时更多的情况。

式子 \((1.4)\) 可以推广为：

\[x^n=nx\tag{2.1} \]

解得：\(x=0\) 或 \(x=\sqrt[n-1]n\) ，在 \(n>2\) 时，\(\sqrt [n-1]{n}\) 一定不是整数，因为显然 \(1<\sqrt[n-1]{n-1}< \sqrt[n-1]n<\sqrt[n-1]{2^{n-1}}=2\)。

式子 \((1.5)\) 可以推广为：

\[(-1)^{n-1}\cdot x=-n\text { 且 }x-n+1=(-1)^n\tag{2.2} \]

发现只有当 \(n\bmod 2=0\) 时，才有解，解为 \(x=n\)。

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综上所述，有四种情况：

1. 当 \(n=1\) 时，任意整数二元组即可。
2. 当 \(n=2\) 时，存在解 \((2,2,2,2)\)。
3. 当 \(n\bmod2=0\) 时，存在解 \((n,-1,-1,\cdots)\)，顺序可以改变。
4. 当 \(n\geq2\) 时，存在解 \((0,0,\cdots)\)。

代码实现

//省略了头文件
#define int long long
using namespace std;

#define R myio::read_int()
//也就是说，R 代表的是读入的数。这里省略了快读。
int solve() {
	int n=R;
	int *a=new int[2*n+1];
	for(int i=1;i<=2*n;i++) a[i]=R;
	int minans=9e18;
	if(n==1) minans=abs(a[2]-a[1]);
	if(n==2) {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=4;i++) 
			sum+=abs(2-a[i]);
		minans=min(minans,sum);
	} if(n%2==0) {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=2*n;i++) sum+=abs(-1-a[i]);	//先求和
		for(int i=1;i<=2*n;i++) 
			minans=min(minans,sum-abs(-1-a[i])+abs(n-a[i]));	//再改值
	} int sum=0;
	for(int i=1;i<=2*n;i++) sum+=abs(a[i]);
	delete []a;
	return min(minans,sum);
}
signed main(){
	int t=R;
	while(t--) myio::print_int(solve());
	return 0;
}