CF 1806 C Sequence Master

题意简述

令全集 $U=\{1,2,3,\dots ,2m\}$。

一个序列 $Q$ 是好的，当且仅当 $\mathrm{\forall }(S\subseteq U,s.t.|S|=m),\prod _{i\in S}{Q}_i=\sum _{j\in ({\complement }_{U}S)}{Q}_j$

定义两个长度为 $k$ 的序列 $A$ 和 $B$ 的距离是 $\sum _{i=1}^k|A_i-B_i|$。

给定长度为 $2n$ 的序列 $P$，请找出与 $P$ 距离最小的好的序列 $Q$，输出它们的距离。

解题思路

思考怎样一个序列满足它是好的。

显然，当 $n=1$ 时，$(x,x),s.t.x\in \mathbb{Z}$ 都是可以的。因此我们只用考虑 $n\ge 2$ 的情况。

不妨先讨论 $n=2$ 时的答案。它应当满足四元轮换对称方程组：

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \{\begin{array}{r}ab=c+d\\ ac=b+d\\ ad=b+c\\ bc=a+d\\ bd=a+c\\ cd=a+b\end{array}\end{array}$$

它的必要条件显然是：

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& ab=c+d,cd=a+b\end{array}$$

式子 $(1.2)$ 的必要条件又是（就是把两式相加）：

$$\begin{array}{}\text{(1.3)}& a+b+ab=c+d+cd⟺(a+1)(b+1)=(c+1)(d+1)\end{array}$$

由轮换性质可得：

$$\begin{array}{}\text{(1.4)}& |a+1|=|b+1|=|c+1|=|d+1|\end{array}$$

或：

$$\begin{array}{}\text{(1.5)}& \sum [a=-1]\ge 3\end{array}$$

式子 $(1.5)$ 就是说四个未知数中有三个都是 $-1$，此时 $(1.3)$ 等式两边都是 $0$。

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先讨论式子 $(1.4)$。设 $x$，显然四个数要么是 $x$，要么是 $-x-2$。

若同时存在 $-x-2$ 和 $x$：

1. 当 $x=-1$ 时，$a=b=c=d=-1$，带回原式，不成立。

2. 当 $x\ne -1$ 时，四个数的正负不尽相同。不妨令 $x\ge 0$,那么 $-x-2\le -2<0$。

   1. 若有一个数为负，不妨令 $a$ 为负，那么式子 $ab=c+d$ 一定不成立（左负右非负）。

   2. 若有两个，不妨令 $a,b$ 为负，那么式子 $cd=a+b$ 一定不成立（左非负右负）。

   3. 若有三个，不妨令 $a,b,c$ 为负，那么:

      $$ab=c+d⟺(-x-2{)}^2=-2$$

      无解。

因此，仅存在 $a=b=c=d=x$ 的情况。

可得方程：

$$x^2=2x$$

解得 $x=0\text{ 或 }2$。带回原方程，发现都成立。

再来看式子 $(1.5)$，发现很好解：$x=2$。即 $a=2,b=c=d=-1$ 是一组解，带回原方程组，可行。

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推广一下，至 $n\ge 2$。当 $n>2$ 时，情况只会比 $n=2$ 时更苛刻，不会存在比 $n=2$ 时更多的情况。

式子 $(1.4)$ 可以推广为：

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& x^n=nx\end{array}$$

解得：$x=0$ 或 $x=\sqrt[n-1]{n}$ ，在 $n>2$ 时，$\sqrt[n-1]{n}$ 一定不是整数，因为显然 $1<\sqrt[n-1]{n-1}<\sqrt[n-1]{n}<\sqrt[n-1]{2^{n-1}}=2$。

式子 $(1.5)$ 可以推广为：

$$\begin{array}{}\text{(2.2)}& (-1{)}^{n-1}\cdot x=-n\text{ 且 }x-n+1=(-1{)}^n\end{array}$$

发现只有当 $nmod2=0$ 时，才有解，解为 $x=n$。

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综上所述，有四种情况：

1. 当 $n=1$ 时，任意整数二元组即可。
2. 当 $n=2$ 时，存在解 $(2,2,2,2)$。
3. 当 $nmod2=0$ 时，存在解 $(n,-1,-1,\cdots )$，顺序可以改变。
4. 当 $n\ge 2$ 时，存在解 $(0,0,\cdots )$。

代码实现

//省略了头文件
#define int long long
using namespace std;

#define R myio::read_int()
//也就是说，R 代表的是读入的数。这里省略了快读。
int solve() {
	int n=R;
	int *a=new int[2*n+1];
	for(int i=1;i<=2*n;i++) a[i]=R;
	int minans=9e18;
	if(n==1) minans=abs(a[2]-a[1]);
	if(n==2) {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=4;i++) 
			sum+=abs(2-a[i]);
		minans=min(minans,sum);
	} if(n%2==0) {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=2*n;i++) sum+=abs(-1-a[i]);	//先求和
		for(int i=1;i<=2*n;i++) 
			minans=min(minans,sum-abs(-1-a[i])+abs(n-a[i]));	//再改值
	} int sum=0;
	for(int i=1;i<=2*n;i++) sum+=abs(a[i]);
	delete []a;
	return min(minans,sum);
}
signed main(){
	int t=R;
	while(t--) myio::print_int(solve());
	return 0;
}