[ABC290D] Marking

题意简述

接受三个参数 $N,D,K$。其中 $N$ 表示有 $N$ 个点，标号为 $0,1,\dots ,(N-1)$。

第一步，将点 $0$ 标记，并且记录一个数 $A$，此时 $A=0$。

此后，你要进行如下操作：

1. $(A+D)modN\to A$。
2. 如果点 $A$ 已经被标记，$(A+1)modN\to A$。、
3. 标记点 $A$。

显然最多进行 $N$ 次操作。求问第 $K$ 次操作时标记的点。有多测，$T$ 组。

题目解析

我们这里称 $A$ 经过若干次操作后不取模保持小于 $N$ （也就是说，$A+D<N$）的过程叫做一轮，每一轮开始时 $A$ 所处的点叫起点 $S$。可以看出，$0\le S<D$。

我们发现这种标记方法的间距始终是相同的，为 $D$，除非遇到相同的。所以说，一旦起点确定（起点之前未被标记），这一轮之后不会遇到别的被标记的点。可以这么理解：每一轮标记的点都是 $S+mD,m\in \mathbb{N}$。设任一标记过的起点为 $S^{\prime }$，则其标记过的点为 $S^{\prime }+nD,n\in \mathbb{N}$。假设存在重合的点，则 $S+mD=S^{\prime }+nD$，即 $S^{\prime }-S=(m-n)D$。因为 $S^{\prime }\ne S$ 且 $0\le S,S^{\prime }<D$，假设不成立。于是不存在重合的点。

那么仅存在某一轮之后与任意起点重合。并且同理可以知道，从本次重合到下一次，经过的轮数相同。具体地说，$S^{\prime }-S-l=(m-n)D$（$l$ 表示重合的次数，显然 $l<D$） 不成立。另一个性质是，每次重合的点下一个必定是未标记的。若是已标记的，则标记已覆盖完 $N$ 个点了。

所以我们就从最开始的一次重合举例。经过多少步能重合呢？其实就是解同余方程 $Dx\equiv 0(modN)$。想到 $gcd$（这种特殊情况就不必劳烦 $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}$ 了）。$Dx$ 什么时候是 $N$ 的倍数呢？只需要提出 $N$ 在 $D$ 中不存在的因数，即 $N/gcd(N,D)$。即： $x=N/gcd(N,D)$。

不重合的时候，就是前进 $D$ 了，这里不再赘述，可见代码。

一个需要注意的点是：第一次还有一个把 $0$ 标记了的操作，所以要把 $K$ 减一。

单次询问复杂度 $O(\log N)$，整个程序复杂度 $O(T\log N)$。

代码实现

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define R myio::read_int()
//也就是说之后的 R 代表的是读入的返回值
//这里省略了快读
using namespace std;
int T,N,K,D;
signed main(){
	T=myio::read_int();
	while(T--) {
		N=R,D=R,K=R-1;
		int ans1=K*D%N; //这一部分表示正常前进的
		int ans2=K/(N/__gcd(N,D)); 
		//每 N/__gcd(N,D) 步重合一次，那么就重合了 K/(N/__gcd(N,D)) 次。
		myio::print_int(ans1+ans2);
	}
	return 0;
}