数论题

给定质数集合 $S$ 问所有不包含 $S$ 外质因数的数中有多少 $\le n$。 $|S|\in \{1,2,3,4,5\},n\in [1,2^{64}]\cap \mathbb{Z}$

meet in the middle。我先算了一下，在 $n=2^{64}$ 的情况下，答案大约 $3\times {10}^7$ 个。双向搜索后，空间可以接受。

假设这个质数集排降序过后是 $\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\}$，即满足 $p_1>p_2>p_3>p_4>p_5$（这里取了 $|S|$ 最大的情况，其他情况类推）。

把 $p_1,p_2,p_3$ 分为一组，暴力求出它们组合后得到小于等于 $n$ 的答案，构成集合 $A_1$。剩余的一组，也求出来，构成集合 $A_2$。然后取长度较小的一组，遍历，lower_bound 求每个对应的答案数。

整个算法的时间复杂度是 $O({\log }^{\frac{|S|}{2}}n+l_{smaller}\log l_{larger})$，其中 $l_{smaller}$ 指较短数组的长度，$l_{larger}$ 则是较长的。