[传智杯 #5 初赛] E-梅莉的市场经济学

数据范围无法阻挡我求根公式的步伐QwQ

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题意简述

有一个有规律的数列 $a$：$[0],[0,1,0,-1,0],[0,1,2,1,0,-1,-2,-1,0]\dots$，$q$ 次询问，每次询问求第 $k$ 项。但是注意，$k$ 是小于等于 $4\times {10}^{18}$ 的正整数。

题目分析

在 题意简述 里面，我们把由一对中括号括起来的数列称作一段，第 $i$ 段的长度为 $S_i$。那么满足 $S_i=S_{i-1}+4(i>1)$，且 $S_1=1$。满足等差数列性质，公差为 $4$。公式法求得，前 $i$ 段的长度和为：

$$\frac{[1+1+4\cdot (i-1)]\cdot i}{2}=(2i-1)\cdot i$$

那么第 $k$ 项前面有多少段呢？设前面有 $x$ 段（如果 $k$ 为一段的末尾，该段也计算，否则不算），$k$ 是所在段的第 $y$ 项，那么 $x$ 是满足 $(2x-1)\cdot x\le k$ 的最大整数，$y=k-(2x-1)\cdot x$。特别的，当 $y=0$ 时，第 $k$ 项是所在段的最后一项。

解一元二次不等式 $(2x-1)\cdot x\le k$，得 $x\le \frac{1+\sqrt{1+8k}}{4}$，即 $x=\lfloor \frac{1+\sqrt{1+8k}}{4}\rfloor$。知道了 $x$，$y$ 自然容易求解。

接着来求第 $k$ 项的具体值。我们把一段按照单调性分为三段。那么满足：

$$a_k=\{\begin{array}{rlrl}& 0,& & y=0,\\ & y-1,& & 0<y\le x+1,\\ & 2x+1-y,& & x+1<y\le 3x+1,\\ & y-4x-1,& & otherwise.\end{array}$$

大功告成！但是别急，数据范围要坑你。我们发现在极端情况 $k=4\times {10}^{18}$ 时，$1+8k=3.2\times {10}^{19}+1$，而 unsigned long long 范围大约是 $[0,1.8\times {10}^{19}]$，爆范围了！怎么办呢？小技巧：

$$\sqrt{8k+1}=\sqrt{8}\cdot \sqrt{k+0.125}$$

即 x=(1+sqrt(8)*sqrt(0.125+k))/4。$k+0.125$ 不会爆 double，$8$ 更不会。那么问题迎刃而解了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k,q;
signed main(){
	scanf("%lld",&q);
	while(q--){
		scanf("%lld",&k);
		long long x=(1+sqrt(8)*sqrt(0.125+k))/4,y=k-(2*x-1)*x;
		if(y==0){printf("0\n");continue;}
		if(y<=x+1)printf("%d\n",y-1);
		else if(y<=3*x+1)printf("%d\n",x*2+1-y);
		else printf("%d\n",y-4*x-1);
	}
	return 0;
}