[传智杯 #5 初赛] E-梅莉的市场经济学

数据范围无法阻挡我求根公式的步伐QwQ

---

题意简述

有一个有规律的数列 \(a\)：\([0],[0, 1, 0, -1, 0],[0, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, 0]\dots\)，\(q\) 次询问，每次询问求第 \(k\) 项。但是注意，\(k\) 是小于等于 \(4\times 10^{18}\) 的正整数。

题目分析

在 题意简述 里面，我们把由一对中括号括起来的数列称作一段，第 \(i\) 段的长度为 \(S_i\)。那么满足 \(S_i=S_{i-1}+4(i>1)\)，且 \(S_1=1\)。满足等差数列性质，公差为 \(4\)。公式法求得，前 \(i\) 段的长度和为：

\[\frac {[1+1+4\cdot(i-1)]\cdot i} {2}={(2i-1)\cdot i} \]

那么第 \(k\) 项前面有多少段呢？设前面有 \(x\) 段（如果 \(k\) 为一段的末尾，该段也计算，否则不算），\(k\) 是所在段的第 \(y\) 项，那么 \(x\) 是满足 \((2x-1)\cdot x\leq k\) 的最大整数，\(y=k-(2x-1)\cdot x\)。特别的，当 \(y=0\) 时，第 \(k\) 项是所在段的最后一项。

解一元二次不等式 \((2x-1)\cdot x\leq k\)，得 \(x\leq\frac {1+\sqrt {1+8k}}{4}\)，即 \(x=\lfloor \frac {1+\sqrt {1+8k}}{4} \rfloor\)。知道了 \(x\)，\(y\) 自然容易求解。

接着来求第 \(k\) 项的具体值。我们把一段按照单调性分为三段。那么满足：

\[a_k=\left\{ \begin{aligned} &0,& &y=0,\\ &y-1,& &0<y\leq x+1, \\ &2x+1-y,& &x+1<y\leq 3x+1, \\ &y-4x-1,& &otherwise. \end{aligned} \right. \]

大功告成！但是别急，数据范围要坑你。我们发现在极端情况 \(k=4\times 10^{18}\) 时，\(1+8k=3.2\times 10^{19}+1\)，而 unsigned long long 范围大约是 \([0,1.8\times 10^{19}]\)，爆范围了！怎么办呢？小技巧：

\[\sqrt {8k+1}=\sqrt 8\cdot\sqrt {k+0.125} \]

即 x=(1+sqrt(8)*sqrt(0.125+k))/4。\(k+0.125\) 不会爆 double，\(8\) 更不会。那么问题迎刃而解了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k,q;
signed main(){
	scanf("%lld",&q);
	while(q--){
		scanf("%lld",&k);
		long long x=(1+sqrt(8)*sqrt(0.125+k))/4,y=k-(2*x-1)*x;
		if(y==0){printf("0\n");continue;}
		if(y<=x+1)printf("%d\n",y-1);
		else if(y<=3*x+1)printf("%d\n",x*2+1-y);
		else printf("%d\n",y-4*x-1);
	}
	return 0;
}