行列式(记为\(|A|\))
定义
一个矩阵的行列式我们定义为\(\sum_{p\ is \ permutaion}(-1)^{\sigma(p)} \times\prod_{i=1}^na_{i,p_i}\)
其中\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序对个数
性质
百度百科
求法
高斯消元
余子式(记为\(m_{i,j}\))
定义
\(m_{i,j}\)表示远矩阵去除第\(i\)行和第\(j\)列之后剩下矩阵的行列式
代数余子式(记为\(M_{i,j}\))
定义
我们称\(M_{i,j}=m_{i,j}\times (-1)^{i+j}\)为代数余子式
与行列式的关系
任意一个\(n\)阶矩阵的行列式可以用某一行或者某一列的代数余子式展开，即
\[|A|=\sum_{i=1}^nM_{x,i}\times A_{x,i}
\]
证明
首先考虑有一个\(n\)阶矩阵
\[A =
\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
考虑\(|A|\)可以用某一行按照以下方式展开
\[\begin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
A_{x,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
0 & A_{x,2} & 0 & \ldots & 0 &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{vmatrix}
+
\ldots
+
\begin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
0 & 0 & 0 & \ldots & A_{x,n} &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{vmatrix}
\]
这个直接根据行列式的定义我们可以得到\(|A|\)的某种展开式
\[|A|=\sum_{i=1}^nA_{x,i}\times m_{x,i}\times (-1)^y
\]
其中\(y\)是一个未知变量，接下来我们考虑\(y\)的取值应该是什么
首先考虑一个这样矩阵的行列式
\[\begin{pmatrix}
A & 0 \\
B & C\\
\end{pmatrix}
\]
明显这样的矩阵的行列式就是\(|A|\times |C|\)
然后考虑行列式有个性质:交换矩阵中任意两行或者两列，行列式取反。那么我们考虑将\((3)\)中矩阵进行交换变成类似\((5)\)中的矩阵，即变成
\[\begin{pmatrix}
A_{x,i} & 0 & 0 & \ldots & 0 &\\
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
显然他的行列式就是\(A_{x,i}\times m_{x,i}\)，发现我们一共会进行\(x+i-2\)次交换，那么对应会原来的矩阵他的行列式就是\(A_{x,i}\times m_{x,i}\times (-1)^{x+i-2}\)，因为\(m_{x,i}\times (-1)^{x+i-2}=m_{x,i}\times (-1)^{x+i}=M_{x,i}\)，所以我们就证明了\((1)\)式
性质
对于一个矩阵的代数余子式，如果我们将矩阵的某一行\(i\)与代数余子式的某行\(j\)相乘，当\(i=j\)时，结果为\(|A|\)，否则结果为\(0\)
证明
考虑任意一个\(n\)阶矩阵
\[A=
\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &\ldots & A_{1,n} &\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \ldots & A_{2,n} &\\
& & \ldots & & &\\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & \ldots & A_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
考虑他的行列式的展开式\(|A|=\sum_{i=1}^nM_{x,i}\times A_{x,i}\)，如果我们将矩阵中除第\(x\)行之外的任意一行复制下来替换成第\(x\)行，那么行列式为\(0\)，并且这一行的代数余子式不变，所以就有\(\sum_{i=1}^nM_{x,i}A_{y,i}=0\)
伴随矩阵
定义
对于一个矩阵\(A\)，我们设他的代数余子式矩阵为\(M\)，那么代数余子式\(M\)构成如下矩阵
\[\begin{pmatrix}
M_{1,1} & M_{2,1} & M_{3,1} &\ldots & M_{n,1} &\\
M_{1,2} & M_{2,2} & M_{3,2} & \ldots & M_{n,2} &\\
& & \ldots & & &\\
M_{1,n} & M_{2,n} & M_{3,n} & \ldots & M_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
那么我们记\(A^*\)表示\(A\)的伴随矩阵，即代数余子式矩阵的转置
性质
对于一个矩阵\(A\)，如果\(A\)可逆，那么存在下面等式
\[AA^*=|A|I
\]
证明
考虑代数余子式的性质：对于一个矩阵的代数余子式，如果我们将矩阵的某一行\(i\)与代数余子式的某行\(j\)相乘，当\(i=j\)时，结果为\(|A|\)，否则结果为\(0\)
因为\(A^*\)实际上就是代数余子式矩阵的转置，那么当我们用\(A\)去右乘\(A^*\)得到的矩阵，只有在\(i=j\)时才会有值，且值为\(|A|\)，其他位置都是\(0\)
