LOJ#162 【模板】光速幂

题意

这可能也是一道模板题。

给出正整数 \(x\) 和 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，求 \(x^{a_i} \bmod p\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 5\times 10^6,1\leq x,a_i<p,p=99824435\color{red}2\)。

题解

\(O(\sqrt n)\ - \ O(\ 1\ )\) 光速幂板子。适用于固定底数、较多询问的快速幂查询。支持非质数模数。

具体是像 \(\text{BSGS}\) 算法那样，预处理出 \(x^1,x^2,...x^{\sqrt n}\)，随后预处理出 \(x^{\sqrt n},x^{2\sqrt n},...x^n\)。

然后就赢麻了。对于每个查询的指数 \(y\) ，答案即为 \(x^{(y ÷ \sqrt n )·\sqrt n}\ ·x^{y\ mod \sqrt n}\)。这俩上面都是预处理好的。

代码

ll x,n;
const ll mod=998244352;
ll s[32000],b[32000];
void solve(){
	x=R,n=R;
	ll block=sqrt(mod);
	ll bas=1;
	b[0]=s[0]=bas;
	for(ll i=1;i<=block;i++){
		bas=bas*x%mod;
		s[i]=bas;
	}
	x=bas,bas=1;
	for(ll i=1;i<=block;i++){
		bas=bas*x%mod;
		b[i]=bas;
	}
	while(n--){
		ll a=R;
		wk(b[a/block]*s[a%block]%mod);
	}
	return ;
}